Les ensembles d’applications linéaires \mathcal{L}(E,F) forment des espaces vectoriels. Aujourd’hui nous allons nous concentrer sur les endomorphismes, une structure supplémentaire apparaît.
Prérequis
Nous nous plaçons dans le cas d’un unique espace vectoriel V, pour raccourcir on note aussi \mathcal{L}(V) = \mathcal{L}(V,V).
Composition
Pour composer des applications linéaires dans le cas général, il faut s’assurer que l’espace d’arrivée de l’un correspond avec l’espace de départ de l’autre. Dans notre cas, c’est automatique. La composition des endomorphismes devient une loi de composition interne,
\begin{align*}
\circ : \mathcal L(V)\times \mathcal L(V) & \to \mathcal L(V)\\
(u,u') & \mapsto u \circ u'.
\end{align*}Id_V \in \mathcal{L}(V) est un élément neutre de la loi de composition :
Id_V\circ u = u = u \circ Id_V.
La structure (\mathcal{L}(V), \circ) ne constitue pas un groupe, il existe des endomorphismes non inversibles pour la loi \circ. Nonobstant, le sous-ensemble des endomorphismes inversibles pour \circ est un groupe. C’est le groupe des automorphismes.
Aut(V) := \{u \in \mathcal{L}(V) | \exists u' \in \mathcal{L}(V) \text{ vérifiant }u\circ u' = Id_V\} \\ \\
(Aut(V), \circ) \text{ est un groupe.}Attention, à ne pas confondre automorphisme et isomorphisme. Un automorphisme est à la fois endomorphisme et isomorphisme. Un isomorphisme n’est pas en général un automorphisme.
Structure d’anneau
La composition est distributive sur l’addition
a\circ(b+c) = a \circ b + a \circ c.
Démonstration : Il s’agit de montrer que ceci est vrai pour tout vecteur v \in V et d’utiliser les définitions de composition addition et linéarité. Fixons un vecteur v \in V,
\begin{align*}
a\circ (b+c)(v) & = a((b+c)(v)) &(\text{ par déf de composition })\\
& = a(b(v) + c(v)) &(\text{ par déf de l'addition } )\\
& = a(b(v)) + a(c(v)) & (\text{ par linéarité de } a ) \\
& = a \circ b(v) + a \circ c (v) & (\text{ déf de composition)} \\
& = (a \circ b + a \circ c) (v) & (\text{ par déf de l'addition). }
\end{align*}Ceci fonctionne qu’importe le vecteur choisi au départ. On montre de la même manière que la composition est distributive à droite sur l’addition, la preuve est laissé en exercice.
Comme la structure (\mathcal{L}(V),+) est déjà un espace vectoriel, elle est en particulier un groupe additif abélien. Comme rappelé dans l’article sur la composition de fonction, composer est associatif. Résumons, la composition est associative, distributive à gauche et à droite par rapport à la loi + , et possède un neutre Id_V.
(\mathcal{L}(V),+,\circ) \text{ est un anneau}Il est souvent admis comme dans tout anneau, d’ignorer la notation du symbole multiplicatif. On notera par exemple ab + cde pour désigner a\circ b + c \circ d \circ e . Par ailleurs lorsqu’un élément est multiplié plusieurs fois à la suite, on met un exposant.
\begin{align*}
u^0 & = Id_V \\
u^1 & = u\\
u^2 & = u \circ u \\
u^3 & = u \circ u \circ u \\
& \dots \\
u^{n+1} &= u^n \circ u
\end{align*}Polynôme et endomorphisme
Vous avez déjà l’habitude d’évaluer un polynôme sur un nombre quelconque comme 0,1,\pi,\sqrt{2}, \dots. Nous pouvons maintenant évaluer un polynôme en un endomorphisme, ça ne change pas vraiment.
Choisissons notre meilleur polynôme,
P(X) = \sum_{k=0}^{d}p_kX^k \in \mathbb K[X],L’évaluation d’un polynôme en un endomorphisme est un endomorphisme,
P(u) := \sum_{k=0}^{d}p_ku^k \in \mathcal{L}(V).L’évaluation d’un polynôme en un endomorphisme donné est une application linéaire, même mieux, c’est un morphisme d’anneau! Pour le montrer il suffit de bien alterner entre les définitions de chaque opération, c’est un exercice formateur. Pour savoir quoi montrer se référer à l’article sur les anneaux.
\begin{align*}
ev_u: (\mathbb{K}[X],+,\times) & \to (\mathcal L(V),+,\circ)\\
P(X) & \mapsto P(u).
\end{align*}Une \mathbb K-algèbre est un mot que vous n’avez pas besoin de connaître à ce stade. Toutefois il est bien illustré ici, je détaille pour les curieux. Notre anneau est un peu plus qu’un anneau, il cache un corps en lui. Ce corps est le corps des homothéties (\{ \lambda Id_V, \forall \lambda \in K \}, + , \circ ). Les polynômes sont aussi une \mathbb K-algèbre, sur le corps des constantes.
Le morphisme d’évaluation envoie le corps des constantes sur le corps des homothéties et est un morphisme d’anneau, c’est ce que l’on appelle un morphisme de \mathbb K-algèbre.
Anneau engendré par un endomorphisme
Le morphisme d’évaluation ev_u n’est en général pas surjectif. On note \mathbb K[u] := im(ev_u), c’est le plus petit sous-anneau de \mathcal L(V) contenant u. On corestreindre parfois le morphisme d’évaluation ev_u au morphisme surjectif \mathbb K[X] \to \mathbb K[u].
Exercices
- Montrer que u\circ u' = Id_V \iff u' \circ u = Id_V, puis montrer que (Aut(V),\circ) forme un groupe.
- Donner un exemple qui illustre que (Aut(V),\circ) n’est pas un groupe commutatif en général.
- A quelle condition sur V l’anneau (\mathcal L(V),+,\circ) est commutatif ?
- Écrire la démonstration de la distributivité à droite.
- La structure (Aut(V),+, \circ) est-elle un sous anneau de (L(V),+,\circ) ?
- Montrer que l’image par un morphisme d’un anneau commutatif est commutatif. En déduire que K[u] l’est.
- Montrer que le morphisme \mathbb K[X]\to \mathbb K[u] n’est pas injectif, en déduire que l’image par un polynôme d’un automorphisme n’est pas toujours un automorphisme. Astuce : comparer \dim(\mathbb K[X]) et \dim(\mathbb K[u]).
