Le théorème de Bayes : Enoncé, démonstration et exercices corrigés

C’est un théorème classique en probabilité, le théorème de Bayes, appelé aussi formule de Bayes, a de nombreuses applications dans la vie réelle. Nous allons en voir une.

Enoncé du théorème de Bayes

Soient A et B deux évènements tels que la probabilité de B soit non nulle. On a alors la relation suivante :

\mathbb P(A|B) = \dfrac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}

Avec P(A∣B) la probabilité conditionnelle que l’èvènement A se réalise sachant que l’évènement B s’est réalisé

Démonstration du théorème de Bayes

Une démonstration assez simple est de partir des définitions de la probabilité conditionnelle en écrivant d’une part :

\mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A\cap B) 

Et que d’autre part :

\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A\cap B) 

Ce qui fait qu’en égalisant on obtient

\mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) =\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A) 

On divise ensuite par P(B) pour obtenir le résultat voulu :

\mathbb{P}(A|B)  =\dfrac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A) }{\mathbb{P}(B)}

Application du théorème de Bayes aux tests de dépistage

Voici un exercice corrigé pour bien comprendre cette notion. Les faux positifs sont une chose présente dans à peu près tous les tests médicaux. Parfois, un résultat peut être positif sans que la personne ne le soit réellement. Voici un test extrêmemement fiable qui pose finalement quelques problèmes :

• Si un patient est malade, le test donne le bon résultat 99 % du temps
• Si un patient n’est pas malade, le test est correct 95 % du temps

Imaginons que cette maladie ne touche qu’une personne sur 100, ce qui est déjà très élevé si la maladie est mortelle.

• Soit A l’évènement, “la personne a contracté la maladie”
• Soit B l’évènement “le test est positif”

On a alors le résultat suivant :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(A|B) & = \dfrac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\\
 &= \dfrac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B|\bar A)\mathbb{P}(\bar A)}\\
 &= \dfrac{0,99 \times 0,01}{0,99\times 0,01+0,05 \times 0,99} \\
&= \dfrac{1}{6} \approx 16,7 \%
\end{array}

On a appliqué la formule des probabilités totales au dénominateur

Concrètement, cela signifie que lorsque le test est positif alors la personne n’a qu’une probabilité d’environ 16,7 % d’être réellement malade et donc n’est pas malade dans 83,3 % des cas. Si on diagnostique le cancer par exemple, alors ce test n’est pas assez fiable. On va faire appliquer un traitement avec de lourds effets secondaires à quelqu’un qui n’a vraisemblablement pas la maladie et donc prendre de grands risques. Dans un tel cas, on dit qu’on fait du surdiagnostic.

Exercices

Exercice 1 – Les anticorps

Enoncé

Dans un laboratoire, on a fait les mesures suivantes :

• Si une souris porte l’anticorps A, alors 2 fois sur 5 elle porte aussi l’anticorps B ;
• Si une souris ne porte pas l’anticorps A, alors 4 fois sur 5 elle ne porte pas l’anticorps B.

Notons que 50 % de la population porte l’anticorps A

1. Calculez la probabilité que, si une souris porte l’anticorps B, alors elle porte aussi l’anticorps A.
2. Calculez la probabilité que, si une souris ne porte pas l’anticorps B, alors elle ne porte pas l’anticorps A

Corrigé

Question 1 : On cherche à calculer \mathbb{P}(A|B) . On utilise alors la formule de Bayes :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(A|B)& =  \dfrac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\\
& = \dfrac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B|\bar A)\mathbb{P}(\bar A)} \\
& = \dfrac{0,4\times 0,5}{0,4\times 0,5+0,8 \times 0,5 }\\
&= \dfrac{1}{3}
\end{array}

Ce qui est donc la probabilité recherchée.

Question 2 : On peut dans ce cas utiliser la formule des probabilités totales :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(\bar A| \bar B) &= \dfrac{\mathbb{P}(\bar B|\bar A)\mathbb{P}(\bar A)}{\mathbb{P}(\bar B)}\\
 &= \dfrac{(1-\mathbb{P}( B|\bar A))(1-\mathbb{P}(A))}{1-\mathbb{P}(B)}\\
 &= \dfrac{0,2\times 0,5}{0,4} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{array}

Exercice 2

Soient deux urnes remplies de boules. La première contient dix boules noires et trente blanches. La seconde en a vingt de chaque.

On tire sans préférence particulière dans une des urnes au hasard et dans cette urne, on tire une boule au hasard. La boule obtenue est blanche. Quelle est la probabilité qu’on tire dans la première urne cette boule sachant qu’elle est blanche?

Exercice 3 – Application à la météo

• Une station météo A prévoit de la pluie pour demain.
• Une autre, B, prévoit au contraire du beau temps
• On sait que dans le passé A s’est trompée 25% du temps dans ses prévisions, et B 30% du temps.
• On sait aussi qu’en moyenne 60% des jours sont de beau temps et 40% de pluie.

Qui croire, et avec quelle probabilité?

Exercice 4

On cosidère 3 groupes d’élèves en musique A₁, A₂ et A₃.

• Le groupe A₁ compte 20 élèves dont 3 pratiquent la cornemuse,
• Le groupe A₂ compte 30 élèves dont 5 pratiquent la cornemuse,
• Le groupe A₃ compte 10 élèves dont 8 pratiquent la cornemuse,

On choisit un élève au hasard et on constate qu’il pratique la cornemuse. Quelle est la probabilité qu’il provienne du groupe A₂ ?

Exercice 5

Un questionnaire à choix multiples propose n ≥ 2 réponses pour chaque question. Soit p la probabilité qu’un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S’il ignore la bonne réponse, il choisit au hasard l’une des réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la probabilité qu’un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu’il l’a donnée?