Le but de cet article et de quelques autres est d’aboutir à la réduction de Frobenius d’un endomorphisme, une occasion de discuter d’algèbre linéaire et sert d’exemple simple à plusieurs notions évoluées des cours d’algèbre élémentaire. Tous les articles de cette série sont réunis ici. Ce premier article introduit du vocabulaire pour arriver à cette démonstration et des explications, illustrations et exercices.
Prérequis
- Polynôme caractéristique
- Polynôme minimal
- Théorème de Cayley-Hamilton
- Restriction d’application linéaire
- Matrice compagnon
Dans cet article, \mathbb K désigne un corps quelconque, V est un espace vectoriel de dimension finie sur \mathbb K, u \in L(V) est un endomorphisme sur V.
Orbite d’un vecteur sous un endomorphisme
Soit v \in V et u \in L(V), on appelle orbite de v sous u la suite de vecteurs définie par v_k = u^k(v) pour k \in \mathbb{N}.
Par exemple, si un vecteur est un vecteur propre de l’endomorphisme, son orbite est contenue dans la droite qu’il engendre. Si une matrice est une rotation d’angle dans \pi\mathbb{Q} sur \mathbb{R}^2, cela entraînera une orbite périodique, quel que soit le vecteur choisi. En revanche, si l’angle de rotation est en dehors de \pi\mathbb{Q}, cela engendrera une orbite dense dans le cercle contenant ce vecteur.
Polynôme minimal d’un vecteur et espace engendré
Soit u \in L(V) ,
- On note \mathbb K[u] = \Big\{P(u) \mid P \in \mathbb K[X]\Big\}, un sous-anneau commutatif de L(V).
- On note \mathbb K[u](v) = \Big\{P(u)(v) \mid P \in \mathbb K[X]\Big\} \subset V, le plus petit sous espace vectoriel engendré par v et stable par u.
Exercice : Montrer que l’ensemble \Big\{ P \in \mathbb K[X] \ | \ P(u)(v) = 0\Big\} est un idéal de \mathbb K[X].
L’anneau des polynômes \mathbb K[X] étant principal, l’idéal précédant est engendré par un unique polynôme unitaire que l’on note \mu_v, polynôme minimal de v sous l’endomorphisme u. En particulier, pour tout v \in V, \mu_v | \mu_u | \chi_u (Théorème de Cayley-Hamilton).
L’espace \mathbb K[u](v) contient l’orbite de v. La dimension finie de V impose à l’orbite de ne pas former une famille libre. Par conséquent, il existe un premier k \in \N avec v_k \in \mathbb K v_0 \oplus \dots \oplus \mathbb K v_{k-1}, les k premiers vecteurs de l’orbite forment une base de \mathbb K[u](v), notée B_v.
La première combinaison linéaire non triviale liant v_k aux autres vecteurs de B_v détermine le polynôme \mu_v, ainsi \dim(\mathbb K[u](v)) = \deg(\mu_v) = k.
Tous les polynômes notés par un “\mu” sont unitaires, pour établir des égalités, il suffit d’établir les divisions des uns sur les autres.
Endomorphisme cyclique
Un endomorphisme u \in L(V) est dit cyclique, lorsque l’on peut trouver v \in V vérifiant, V = \mathbb K[u](v). L’orbite d’un vecteur suffit à engendrer tout l’espace vectoriel.
Exercice
- Justifier que \forall \lambda \in \mathbb K, v \in V, \mu_{\lambda v} = \mu_v.
- Justifier qu’un endomorphisme est cyclique lorsque \max_{v \in V} \{deg(\mu_v) \} = dim(V).
- Montrer que, \forall n \in \mathbb{N}, x_i \in V, (\prod_{i=1}^n\mu_{x_i} )(u)(\sum_{i=1}^n x_i) = 0.
- Montrer que, si les x_i \in V forment une famille génératrice de V, alors \mu_u | (\prod_{i=1}^n\mu_{x_i} ).
- Montrer que si \chi_u est irréductible dans \mathbb K[X], alors u est cyclique.
