La composition est une opération fondamentale en mathématiques qui permet de combiner des fonctions pour en créer de nouvelles. Voici dans cet article tout ce qu’il faut savoir sur cette notion.
Définition
La composition de fonctions est définie comme suit. Soient f et g deux fonctions. La composition de f et g, notée f\circ g, est définie par (f\circ g)(x) = f(g(x)). Autrement dit, la composition de f et g est la fonction qui applique d’abord g à x , puis applique f au résultat de g(x) .
Par exemple, si f est définie par f(x) = x^2 et g par g(x) = x + 1, alors (f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2. Ici, on applique d’abord g à x pour obtenir x+1, puis on applique f au résultat pour obtenir (x+1)^2
La composée est associative, c’est-à-dire que (f\circ g)\circ h = f\circ (g \circ h), pour toutes les fonctions f, g et h appropriées. Cette propriété est importante car elle signifie que l’ordre dans lequel nous effectuons les compositions n’a pas d’importance.
Inverse de fonctions
La composition de fonctions est également utile pour inverser des fonctions. Si f et g sont inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que f(g(x)) =g(f(x))= x . Ces x doivent être dans leur domaine commun, alors f et g sont inverses l’une de l’autre. Dans ce cas, on peut écrire g = f^{-1}.
Ensemble de définition d’une composée
Si f: F \to G est une fonction et g: E \to F est une autre fonction alors la composée f \circ g est définie.
De manière générale, pour que f \circ g soit bien définie avec f : A \to B et g : C \to D[/katex, il faut et il suffit que [katex] \text{Im}(g)\subset A
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Soient f et g définis par f(x) = x^2 et g(x) = 2x - 1. Trouvez les fonctions f\circ g et g\circ f et déterminez leur domaine et leur image.
Corrigé : On a :
- f(g(x)) = f(2x-1) = (2x-1)^2 \geq 0 . Son domaine de définition est \R et son image \R_+
- g(f(x)) = g(x^2) = 2x^2 - 1 \geq 0 . Son domaine de définition est \R et son image [-1;+\infty[
Exercice 2
Enoncé :
Corrigé :
Exercices
Exercice 1
On considère les fonctions f, g et h :
- f(x)=x^2
- g(x) = x+1
- h(x)=\dfrac{3}{x}
Déterminer les composées suivantes :
- f \circ g \circ h
- g \circ h \circ f
- h \circ f \circ g
Exercice 2
Ecrire les fonctions suivantes comme une composée :
- f(x) = \sqrt{x+1}+ (x-1)^2 +2
- g(x) = \sqrt{x^2-12}
- h(x) = \sin (x^2)
