Dans cet article, nous allons faire un cours détaillé sur la notion de groupes en mathématiques, nous allons définir les notions essentielles et énoncer les résultats principaux.
Prérequis
Groupes : Définition
Soit G un ensemble non-vide. On appelle cet ensemble un groupe, muni d’une loi de composition interne s’il vérifie les 3 axiomes suivants :
- La loi * est associative, c’est-à-dire que \forall x,y,z \in G, (x*y)*z = x*(y*z)
- La loi * admet un élément, c’est-à-dire que \exists e \in G, \forall x \in G, x*e = e*x = x . Cet élément s’appelle l’élément neutre.
- Tout élément de G admet un symétrique c’est-à-dire \forall x \in G, \exists y \in G, x *y = y*x = e . On notera ce symétrique (appelé aussi inverse) x^{-1}
Si en plus le groupe est commutatif, c’est-à-dire qu’il vérifie \forall (x,y) \in G^2, x*y = y*x , on dit que c’est un groupe abélien.
De plus, je vous laisse prouver que le neutre est unique. Si vous bloquez n’hésitez pas à le dire en commentaire.
Un groupe qui n’a qu’un nombre fini d’éléments est appelé groupe fini.
Quelques exemples de groupes
Voici quelques exemples de groupes :
- (\mathbb{C} , +) est un groupe abélien. De manière générale (\mathbb{R}, +);(\mathbb{Q}, +);(\mathbb{Z}, + ) sont des groupes abéliens.
- (\mathbb{R}^* , \times) est un groupe abélien
- Soit \mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C}, |z| = 1 \} alors (\mathbb{U}, \times) est un groupe abélien.
Sous-groupes
Soient H \subset G . On dit que H est un sous-groupe de G s’il vérifie :
- H \subset G
- e \in H . Cela revient en fait à dire que H est non vide.
- H est stable par produit : \forall x,y \in H, x*y \in H
- H est stable par inverse : \forall x \in H, x^{-1} \in H
On peut rassembler les deux dernières propriétés en \forall x,y \in H, x*y^{-1} \in H
Par exemple, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} sont des sous-groupes de \mathbb{C} .
G est un sous-groupe de G.
Sous-groupe engendré par un élément
Soit G un groupe. Soit x un élément de G. On appelle sous-groupe monogène engendré par x le sous-groupe engendré par le singleton \{ x \}. On le note \langle x \rangle . C’est le plus petit sous-groupe de G contenant x, et l’on a
\langle x \rangle = \{ x^m , m \in \Z \} On dit que x est d’ordre fini si \exists m \geq 1, x^m = 1. On appelle le plus petit m ordre de x. Dans ce cas, le sous-groupe \langle x \rangle est
\langle x \rangle = \{ e,x ,x ^2 , \ldots, x^{m-1}\} Un groupe engendré par un seul élément est appelé groupe monogène. Un groupe monogène et fini est appelé groupe cyclique.
Morphismes de groupes
Soient (G,.) et (G',*) deux groupes. On appelle morphisme de groupes de G vers G’ une application f qui vérifie
f : G \to G' \text{ avec } f(x.y) = f(x) * f(y) Exemple
Par exemple, l’application \exp : \R \to \R_+ est un morphisme de groupes. de (\R, +) vers (\R^* , \times) grâce à la relation \exp(x+y) = \exp (x) \times \exp(y)
Vocabulaire
Voici un peu de vocabulaire sur les morphismes de groupes :
- Si G= G' alors on parle d’endomorphisme.
- Si le morphisme est bijectif, on parle d’isomorphisme
- Si G= G' et que le morphisme est bijectif alors on parle d’automorphisme.
- On appelle noyau f^{-1}(e) = \{ x \in G, f(x) = e \} et on le note Ker.
Propriétés
Pour un morphisme de groupes, on a les propriétés suivantes :
- f(e) =e' où e est le neutre de G et e' est le neutre de G’.
- \forall x \in G, f(x^{-1}) = f(x) ^{-1}
- \forall x \in G, \forall n \in \mathbb{Z}, f(x^n) = f(x)^n
- L’image directe d’un sous-groupe de G est un sous-groupe de G
- L’image réciproque d’un sous-groupe de G’ est un sous-groupe de G’.
- Ker f = \{e \} si et seulement si f est injective.
Nous avons pas mal d’exercices sur les groupes pour vous entraîner :
Et aussi quelques-uns d’entre eux sont corrigés
Je vous conseille aussi ce grand classique : les sous-groupes additifs de \mathbb{R}
