Le produit cartésien est une notion essentielle à connaitre en théorie des ensembles. Découvrons ensemble sa définition.
Définition du produit cartésien
On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B (on le note A x B) l’ensemble des couples (a;b) où a est un élément de A et b un élément de B. Mathématiquement, cela s’écrit :
A \times B = \{(a,b) ,a \in A, b\in B\}
Lorsque A et B sont finis, le cardinal de A x B est le produit du cardinal de A et du cardinal de B. Donc si le cardinal de A vaut p, celui de B vaut q alors le cardinal de A x B vaut pq.
\#(A\times B) = \#A \times \#B
Voici plusieurs informations complémentaires :
- Le produit cartésien n’est pas commutatif, E x F est généralement différent de F x E, ils sont d’ailleurs différents dès lors que F est différent de E
- Si F = E, on peut remplacer la notation E x E par E2
- On peut définir un produit cartésien à n termes :
A_1 \times \ldots \times A_n = \{ (a_1,\ldots,a_n), a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \}
- Et si tous les Ai sont égaux à A on a là aussi la notation suivante : A1 x … x An = An qui est beaucoup plus condensée.
Exemples
- Si A = {a,b} et B = {1,2,3} alors l’ensemble A x B issu du produit cartésien est constitué des 6 éléments suivantes : A x B = {(a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3)}. Notons que B x A est bien différent de A x B et vaut {(1,a); (2,a); (3,a); (1,b); (2,b); (3,b)}
- Si A et B sont égaux à l’ensemble des réels, on définit
\mathbb{R}^2
par
\mathbb{R}^2 = \{(a,b), a \in \R, b\in \R\}
Le produit cartésien en SQL
Pour faire le lien avec le SQL, la jointure cross join correspond exactement au produit cartésien. Si on a une première table de k lignes et une seconde table de l lignes alors la cross jointure entre ces deux tables donne une table de k x l lignes correspondant au produit cartésien des 2 lignes.
Bonjour,
Pourquoi est-ce que E^n x E^n \= E^(2n)
Bonjour,
Et merci pour ta question ! La réponse est assez simple :
On définit E^n comme E x E^(n-1). Par récurrence on obtient que c’est E x E x … x E n fois
E^(2n) du coup c’est E x E x … x E 2n fois
On a donc : E^n x E^n = E x E x .. x E 2n fois = E^(2n)
Cela répond à ta question ?
je suis désolé mais le \= était pour \not=
C’est mon prof de supérieures qui m’a dit ça et je ne comprenais pas trop. Je comprends qu’ils sont égaux à un isomorphisme près mais pas pourquoi ils ne sont pas égaux. Merci d’avance et bonne soirée.
Voici ma réponse :
D’un côté c’est 2n-uplets, de l’autre un 2n-upets
Ces ensembles sont donc clairement isomorphes mais pas égaux sauf si E est vide
Cependant ça semble plus être de l’ordre de la convention qu’autre chose
Comme j’avais un doute, j’ai posé la question sur Twitter, tu peux lire les réponses pour te forger un avis. Voici le lien direct : https://twitter.com/Progressermaths/status/1526326467654733827
merci beaucoup!!