Théorie des ensembles : Qu’est-ce que le produit cartésien ?

Le produit cartésien est une notion essentielle à connaitre en théorie des ensembles. Découvrons ensemble sa définition.

Définition du produit cartésien

On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B (on le note A x B) l’ensemble des couples (a;b) où a est un élément de A et b un élément de B. Mathématiquement, cela s’écrit :

A \times B = \{(a,b) ,a \in A, b\in B\}

Lorsque A et B sont finis, le cardinal de A x B est le produit du cardinal de A et du cardinal de B. Donc si le cardinal de A vaut p, celui de B vaut q alors le cardinal de A x B vaut pq.

\#(A\times B) = \#A \times \#B

Voici plusieurs informations complémentaires :

• Le produit cartésien n’est pas commutatif, E x F est généralement différent de F x E, ils sont d’ailleurs différents dès lors que F est différent de E
• Si F = E, on peut remplacer la notation E x E par E²
• On peut définir un produit cartésien à n termes :

A_1 \times \ldots \times  A_n = \{ (a_1,\ldots,a_n), a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n \}

• Et si tous les A_i sont égaux à A on a là aussi la notation suivante : A₁ x … x A_n = Aⁿ qui est beaucoup plus condensée.

Exemples

• Si A = {a,b} et B = {1,2,3} alors l’ensemble A x B issu du produit cartésien est constitué des 6 éléments suivantes : A x B = {(a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3)}. Notons que B x A est bien différent de A x B et vaut {(1,a); (2,a); (3,a); (1,b); (2,b); (3,b)}
• Si A et B sont égaux à l’ensemble des réels, on définit

\mathbb{R}^2

par

\mathbb{R}^2 = \{(a,b), a \in \R, b\in \R\}

Le produit cartésien en SQL

Pour faire le lien avec le SQL, la jointure cross join correspond exactement au produit cartésien. Si on a une première table de k lignes et une seconde table de l lignes alors la cross jointure entre ces deux tables donne une table de k x l lignes correspondant au produit cartésien des 2 lignes.