Application linéaire : Cours et exercices corrigés

Les applications linéaires sont un type d’application qui a tout son intérêt lorsqu’on travaille dans des espaces vectoriels. Dans cet article, nous allons voir ce qu’est une application linéaire et voir la méthode associée.

Prérequis

• Injection, surjection et bijection

Définition d’une application linéaire

Soit \mathbb{K} un corps, par exemple \R ou \mathbb{C} . Soient E et F deux espaces vectoriels. f : E \to F est une application linéaire si elle vérifie deux conditions :

• Additivité : \forall x,y \in E, f(x+y) = f(x) + f(y)
• Homogénéité \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, f(\lambda x ) = \lambda f(x)

En prenant x = y=0 dans la relation d’additivité et en simplifiant, on obtient qu’une application linéaire vérifie nécessairement f(0_E) = 0_F .

Méthode : En pratique

Parfois, il est plus simple de montrer les deux propriétés séparément. Mais très souvent, pour aller plus vite, on va les montrer d’un coup, en démontrant :

\forall x,y \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K} , f(\lambda x +\mu y ) =\lambda f(x) +\mu f(y) 

Et on peut même faire encore plus léger en montrant (et c’est ce que je vous conseille de faire)

\forall x,y \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y) 

Pour prouver qu’une application n’est pas linéaire, on a généralement ces 3 possibilités :

• On montre que f(0_E ) \neq 0_F
• Sinon, on trouve un \lambda et un x tels que f (\lambda x ) \neq \lambda f(x)
• Ou alors, on cherche (x,y) \in E tels que f(x+y) \neq f(x) + f(y)

Un peu de vocabulaire

Voici quelques termes importants à retenir :

• Si E=F , on parle d’endomorphisme
• Si une application linéaire est bijective, on parle d’isomorphisme
• Un endomorphisme bijectif (qui est donc aussi un isomorphisme) sera appelé automorphisme

Quelques exemples connus d’application linéaire

• L’application identité f : x \mapsto x définie sur un corps est une application linéaire
• L’application conjugaison définie sur les complexes en tant que \R-espace vectoriel par f : z \mapsto \bar z est une application linéaire
• Soit (a_1, \ldots, a_n) un vecteur de réels. L’application f : x = (x_1, \ldots ,x_n) \mapsto \sum_{k=1}^n a_kx_k est une application linéaire. Elle a même un nom particulier, on l’appelle forme linéaire.
• La dérivation : \varphi : f \mapsto f' définie sur les fonctions de classe \mathcal{C}^1 est linéaire
• On définit F : x \to \displaystyle \int_a^x f(t) dt . L’application primitive \varphi : f \mapsto F est linéaire

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ?

1. f : \left\{ \begin{array}{lll} \R^2& \to& \R^2\\ (x,y)& \mapsto & (x+y,x-y) \end{array} \right.
2. f : \left\{ \begin{array}{lll} \R^2& \to& \R\ (x,y)& \mapsto & xy \end{array} \right.
3. f : \left\{ \begin{array}{lll} \R^3& \to& \R^3\ (x,y,z)& \mapsto & (y,z,0) \end{array} \right.
4. f : \left\{ \begin{array}{lll} \R^3& \to& \R\ (x,y,z)& \mapsto & x+y+z \end{array} \right.

Corrigé :

Question 1 : Soient x,y,x',y',\lambda \in \R . On a :

\begin{array}{ll}
f(\lambda x + x', \lambda y + y ') &= (\lambda x + x'+\lambda y + y ',\lambda x + x'-(\lambda y+  y '))\\
&= (\lambda x +\lambda y ,\lambda x -\lambda y )+ ( x'+ y ', x'- y ')\\
&= \lambda(x +y ,x -y )+ ( x'+ y ', x'- y ')\\
&= \lambda f(x,y) + f(x',y')
\end{array}

ce qui prouve sa linéarité

Question 2 : On a f(2,2) =4 \neq 2 f(1,1) =2 , donc l’application n’est pas linéaire

Question 3 : Soient x,y,z,x',y',z'\lambda \in \R . On a :

\begin{array}{ll}
f(\lambda x + x', \lambda y + y ', \lambda z + z') &= (\lambda y + y', \lambda z+z',0)\\
&= (\lambda y , \lambda z ,0)+ ( y', z',0)\\
&= \lambda(y , z,0 )+ ( y', z',0)\\
&= \lambda f(x,y,z) + f(x',y',z')
\end{array}

Ainsi, l’application est linéaire

Question 4 : Soient x,y,z,x',y',z'\lambda \in \R . On a :

\begin{array}{ll}
f(\lambda x + x', \lambda y + y ', \lambda z + z') &= \lambda x + x'+ \lambda y + y '+\lambda z + z'\\
&= \lambda(x+y+z )+ (x'+y'+z')\\
&= \lambda f(x,y,z) + f(x',y',z')
\end{array}

Là aussi, l’application est linéaire.

Exercice 2

Enoncé : Montrer que l’application suivante est linéaire :

\varphi: \left\{ \begin{array}{lll} \R[X] & \to & \R[X]\\ P& \mapsto & P' - XP'' \end{array} \right.

Corrigé : Soient P, Q \in \R[X], \lambda \in \R , on a :

\begin{array}{ll}
f(P+\lambda Q) &= (P+\lambda Q)' - X (P+\lambda Q)''\\
&= P'+\lambda Q' - X P''-\lambda X Q''\\
&= P' - X P''+\lambda Q'-\lambda Q''\\
&= P' - X P''+\lambda (Q'-XQ'')\\
&= f(P) + \lambda f(Q)
\end{array}

Donc cette application sur les polynômes est bien linéaire.

Exercice 3

Enoncé : Montrer que l’application définie à la question 1 de l’exercice 1 est un automorphisme et déterminer sa réciproque

Corrigé : On a montré que cette application était linéaire. C’est aussi un endomorphisme car l’espace de départ et d’arrivée sont les mêmes. Il nous manque donc le caractère bijectif. Pour cela, on va directement essayer de l’inverser et déterminer sa réciproque, ce qui nous donnera son caractère bijectif et nous permettra de conclure.

Soient x,y,z,y \in \R tels que f(x,y) = (z,t) , On cherche donc à écrire (x,y) en fonction de (z,t)

\begin{array} {ll}
& \left\{\begin{array}{ll} x+y &=z \\ x-y&= t \end{array} \right. \\
\iff & \left\{\begin{array}{ll} x+y &=z \\ 2x&= z+t \end{array} \right. \\
\iff & \left\{\begin{array}{ll} x+y &=z \\ x&= \dfrac{z+t}{2} \end{array} \right. \\
\iff & \left\{\begin{array}{ll} x&= \dfrac{z+t}{2} \\ y &=z -x = \dfrac{z-t}{2}\end{array} \right. \\
\end{array}

ce qui nous montre bien le fait que c’est un automorphisme et on a obtenu directement sa réciproque, qui avouons-le, n’est pas des plus complexes à calculer.