Dans cet article, nous allons vous expliquer la notion de corps, la troisième structure algébrique importante avec les groupes et les anneaux.
Prérequis
Définition d’un corps
Soit \mathbb{K} un ensemble muni de deux lois de composition interne vérifiant :
- (\mathbb{K},+) est un groupe abélien dont le neutre est noté 0_{\mathbb{K}}
- (\mathbb{K} \backslash \{ 0 \}, \times) est un groupe dont le neutre est noté 1_{\mathbb{K}}
- La multiplication est distributive par rapport à l’addition : \forall a,b,c \in \mathbb{K}, a \times (b+c) = a\times b + a \times c, (b+c) \times a = b \times a + c \times a
On peut voir un corps comme un anneau dont tous les éléments sauf 0 sauf inversibles pour la loi \times
Exemples
Voici quelques exemples de corps
- (\mathbb{Q}, +, \times),(\mathbb{R}, +, \times),(\mathbb{C}, +, \times) sont des corps
- (\mathbb{Z}, +, \times) n’est pas un corps
- L’ensemble des matrices de la forme \begin{pmatrix} a & - b \\ \bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} est un corps, appelé corps des quaternions qui est non commutatif.
Vocabulaire
Soit \langle 1_{\mathbb{K}} \rangle = \{ n.1_{\mathbb{K}} , n \in \mathbb{Z} \} groupe engendré par le neutre pour la multiplication. Si ce groupe est fini, d’ordre n_1, on dit que ce corps est de caractéristique n_1. Sinon, on dit qu’il est de caractéristique 0.
Théorème : Soit \mathbb{K} un corps de caractéristique p. Alors p est premier.
Sous-corps
Soit (\mathbb{K}, + , \times ). \mathbb{L} est un sous-corps de \mathbb{K} si :
- \mathbb{L} \subset \mathbb{K}
- \forall x,y \in \mathbb{L}, x-y \in \mathbb{L}
- \forall x,y \in \mathbb{L}, x\times y^{-1} \in \mathbb{L}
- 1 \in \mathbb{L}
Par exemple, (\R, +, \times) est un sous-corps de \mathbb{C}.
Morphisme de corps
Soient \mathbb{K}_1 et \mathbb{K}_2 deux corps. f : \mathbb{K}_1 \to \mathbb{K}_2 est un morphisme de corps si
- \forall x,y \in \mathbb{K}_1, f(x+y) = f(x) + f(y)
- \forall x,y \in \mathbb{K}_1, f(x \times y) = f(x) \times f(y)
C’est globalement la même chose que pour un anneau, sauf qu’on n’a pas besoin de la condition f(1_{\mathbb{K_1}}) = f(1_{\mathbb{K_2}}) qui dans ce cas peut être déduite des deux autres conditions.
Tout morphisme de corps est injectif.
