Lorsqu’on entre dans le supérieur, les notions d’injection, de surjection et de bijection sont parmi les premières que l’on voit. Dans cet article, nous allons donner les définitions et démontrer quelques exercices importants.
Prérequis
Définitions
Pour toute la suite, on désignera par f : E \to F une application.
Injection
Une application f est dite injective si et seulement si \forall x,y \in E, f(x) = f(y) \Rightarrow x = y .
Dit en français, cela revient à dire que chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au maximum un antécédent.
Surjection
Une application f est dite surjective si et seulement si \forall y \in F, \exists x \in E, y = f(x) .
Dit en français, cela revient à dire que pour une application surjective chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.
Bijection
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
- Une application est une bijection si elle est à la fois une injection et surjection
- \forall y \in F, \exists ! x \in E, y = f(x)
Dit en français, une application est bijective si et seulement si chaque élément de l’ensemble d’arrivée admet un unique antécédent.
Si E et F sont en bijection, on dit qu’ils sont équipotents.
Si f est une bijection, alors elle admet une bijection réciproque notée f^{-1}
Propriétés
Passons ensuite à quelques propriétés sur l’injection, la surjection et la bijection :
- La composée de deux injections est injective
- La composée de deux surjections est surjective
- La composée de deux bijections est bijective
Si E et F sont des ensembles finis :
- La fonction ne peut être injective que si \text{card} (E) \leq \text{card}(F)
- De plus, elle ne peut être surjective que si \text{card} (E) \geq \text{card}(F)
- Et pour qu’elle soit bijective, il est nécessaire que \text{card} (E) = \text{card}(F)
Une application classique et liée à la notion de bijection est le théorème de Cantor-Bernstein
Exercices corrigés
Exercice 806
Enoncé : Cet exercice présente un résultat à retenir pour la composition de fonctions.
Corrigé : Question 1 : Si h est surjective, on a \forall y \in G, \exists x \in E, y = h(x) . Or h(x) = g(f(x)) . Posons z = f(x). On a y = g(z) . Donc l’image de z par g est y. Ainsi, g est surjective.
Question 2 : Soient x,y \in E tels que f(x)=f(y) . On a alors, en composant par g, h(x) = g(f(x)) =g(f(y)) = h(y) . Or, h est injective, d’où x = y . Ainsi, f est injective.
Corollaire : On remarque alors que si h est bijective alors f est injective et g est surjective.
Exercice 2
Enoncé : Soit I un intervalle. Montrer qu’une fonction f : I \to \R strictement monotone est injective.
Corrigé : Quitte à considérer - f , on peut supposer que f est strictement croissante. La contraposée de l’injectivité s’écrit \forall x,y \in I, x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y) . Soient x \neq y. Quitte à échanger x et y, on peut supposer que x < y . Par stricte croissance de f, on a f(x) < f(y) et donc f(x) \neq f(y), ce qui est bien le résultat attendu.
Exercice 3
Enoncé : Trouver le bon intervalle de départ et d’arrivée pour rendre f: x \mapsto x^2 bijective.
Corrigé : Remarquons déjà que f n’est ni injective ni surjective. En effet f(2) = f(-2)= 4 et on sait aussi que -1 n’a pas d’antécédent réel. De plus, on sait que l’image de f est \R_+. En prenant comme ensemble d’arrivée \R_+ on va rendre l’application surjective.
De plus, on sait que f(x) = y a deux solutions : \sqrt{y} et - \sqrt{y} . Donc si on enlève les négatifs, on aura un seul antécédent (attention à bien garder 0). Ainsi, si on définit f: \R_+ \to \R_+ , on aura bien une bijection.
Exercice pour le lecteur : Faire de même avec g : x \mapsto e^x et h : x \mapsto \cos(x) et aussi dans les complexes comme ensemble de départ et d’arrivée avec j : t \mapsto e^{t} .
En fait, en réduisant suffisamment l’ensemble de départ et en réduisant celui d’arrivée à l’image, on peut toujours se débrouiller pour rendre l’application bijective.
