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Dérivation
Cours Révisions du bac

Les dérivées : Cours et exercices

Ce cours a pour but de présenter la définition, les propriétés principales et quelques exemples corrigés et exercices concernant la dérivation. Si vous voulez voir plutôt des formules, allez voir notre fiche mémoire sur les dérivées usuelles !

Définition

Définition intuitive

La dérivée en un point correspond à la pente de la fonction en ce point.
Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ, par f(x) = 2x. Alors sa pente vaut 2 en tout point

2x
f(x) = 2x

Définition mathématique

f est dite dérivable en un point a de son ensemble de définition si

\lim _{x\to a}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}

existe. Cette limite est notée f'(a). On dit que f est dérivable en a. f'(a) est appelé nombre dérivée.
Exemple : Calculons la limite en a = 1 de x-> x2

\begin{array}{ll}&\displaystyle\lim_{x\to1}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ 
=&\displaystyle\lim_{x\to1}\ \frac{x^2-1}{x-1}\\ 
=&\displaystyle \lim_{x\to1}\ \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}\\ 
=&\displaystyle \lim_{x\to1}\ x+1\ =\ 2\end{array}

Ainsi, la dérivée en 1 de la fonction carré est 2.

Si une fonction admet une dérivée en tout point, on dit qu’elle est dérivable.

Définition de la tangente

La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » ce point et a pour pente la dérivée en ce point.
Une formule permet de l’obtenir :

y = f'(a) (x-a) + f(a)

Le coefficient directeur de la tangente est f'(a)
Son ordonnée à l’origine est f(a) – a f'(a) (on prend x = 0 dans l’équation ci-dessus)

Exemple :
Reprenons l’exemple de tout à l’heure : f(x) = x2 et a = 1
On sait que f'(1) = 2 et f(1) = 1
En reprenant la formule de la tangente on obtient

\begin{array}{l}y = f^{\prime}\left(1\right) \left(x-1\right) + f\left(1\right)\\
y = 2 (x-1) + 1\\
y = 2(x-1) +1\\
y = 2x -1\end{array}

Graphiquement, voici le résultat :

Tangente fonction carrée
f(x) = x2 avec sa tangente au point 1

La dérivation : résumé

  • Si f possède une dérivée en un point a, on note le résultat f'(a). Ce résultat est appelé nombre dérivé.
  • Si f possède un nombre dérivé en tout point de son intervalle de définition (respectivement sur un intervalle), f est dite dérivable sur son intervalle de définition (respectivement sur son intervalle). On note sa dérivée f’.
  • La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » ce point et a pour pente la dérivée en ce point. Elle sa calcule via y = f'(a) (x-a) + f(a).

Propriétés

La dérivée a diverses propriétés :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Soit C une constante

\begin{array}{l}\text{Additivité : } \left(u+v\right)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\\ 
\text{Multiplication par une constante : } \left(Cu\right)^{\prime} =C\ u^{\prime}\\ 
\text{Multiplication : } \left(uv\right)^{\prime} =\ u^{\prime}\ v\ +\ uv^{\prime}\\ 
\text{Division : } \left(\dfrac{1}{u}\right)^{\prime} =-\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\\ 
\text{Fraction : } \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2} \\ 
\text{Composition : }  (u \circ v)' = v' \times (u'\circ v) \end{array}

Pour une généralisation de la multiplication, allez voir notre cours sur la formule de Leibniz

Dérivées usuelles

Voici la liste des dérivées principales à connaître :

 \begin{array}{| c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}\\ \hline \hline \\
     1  &0  \\  \\\hline   \\
x & 1 \\ \\ \hline \\
x^2&2x \\ \\ \hline   \\
x^n, n \in \N & nx^{n-1}  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x}& -\frac{1}{x^2}  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x^n}, n\in \N&-\frac{n}{x^{n+1}} \\ \\ \hline   \\
\sqrt{x} &\frac{1}{2\sqrt{x}}  \\ \\ \hline  \\
\text{Généralisation : } x^{\alpha}, \alpha \in \R &\alpha x^{\alpha - 1} \\ \\ \hline 
   \end{array}

Pour encore plus de formules de dérivées, allez voir notre formulaire dédié !

Exemples de dérivation

Exemple 1
Calculer la dérivée de f définie par f(x) = x2 + x. Calculer sa dérivée.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée de x est 1.
En utilisant l’additivité de la dérivée, on obtient

f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 1

Exemple 2
Calculer la dérivée de f(x) = x2 / (2x+1)

\begin{array}{l}\text{On pose : } u(x)=x^2, v\left(x\right) = 2x+1\\
\text{On a : }  u^{\prime}\left(x\right) = 2x,v^{\prime}\left(x\right) =2\\
\text{On a donc, en utilisant } \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}\ = \dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\\ 
f^{\prime}\left(x\right)\ =\dfrac{2x\left(2x+1\right)-x^2\times2}{\left(2x+1\right)^2}\\ 
f^{\prime}\left(x\right)\ = \dfrac{4x^2+2x-2x^2}{\left(2x+1\right)}\\ 
f^{\prime}\left(x\right)\ = \dfrac{2x^2+2x}{2x+1}\\ 
f^{\prime}\left(x\right)\ = 2x\dfrac{x+1}{2x+1}\end{array}

Exemple 3
Calculer la tangente au point 2 de la fonction f définie par f(x) = x2 + 3x + 4.
Calculons d’abord f'(x).

f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 3

Puis f'(2) = 2×2 + 3 = 7
On a aussi f(2) = 22 + 3×2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14
On utilise ensuite la formule de la tangente :

\begin{array}{l}y=f^{\prime}(2)\times\left(x-2\right)\ +\ f\left(2\right)\\
y\ =\ 7\ \times\left(x-2\right)\ +\ 14\ \\
y\ =\ 7x\ -\ 14\ +\ 14\\
y\ =\ 7x\end{array}

La tangente est donc définie par l’équation y = 7x

Exemple 4
Calculer la dérivée de la fonction f suivante

f\left(x\right)\ =\ \sqrt{2x\ -\ 3}

La correction est la suivante :

\begin{array}{l}\text{f est de la forme } u\circ v \text{ avec } \\
u\left(x\right) = \sqrt{x\ } \text{ et } v\left(x\right) = 2x-3\\ 
\text{On a} :\\ 
u^{\prime}\left(x\right)\ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ et\ v^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2\\ 
\text{La dérivée est de la forme } v^{\prime} \times\left(u^{\prime}\circ v\right)\\ 
\text{Donc } f^{\prime}\left(x\right)\ = 2\ \times\dfrac{1}{2\sqrt{2x-3}}\\ 
f^{\prime}\left(x\right)\ = \dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\end{array}

Exercices de dérivation

Si vous êtes en prépa ou dans le supérieur, allez plutôt voir ces exercices. Si vous êtes au lycée, vous êtes bien au bon endroit.

Exercice 1

Déterminer f'(x) pour les fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\ =\ \left(5x+6\right)\left(7x+10\right)\\ \\
f_2\left(x\right)\ =\ \frac{4x-5}{2x+1}\\ \\
f_3\left(x\right)\ =\ \frac{\sqrt{x}}{4x-3}\\ \\
f_4\left(x\right)\ =\ \frac{x-6}{x^2+8x-4}\end{array}

Exercice 2

Encore des calculs de dérivée : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f_1\left(x\right) = x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ 
f_2\left(x\right) = \left(x^4-1\right)\sqrt{x}\\ 
f_3\left(x\right) = \dfrac{5}{x-3}\\ 
f_4\left(x\right) = 3\sqrt{x}-\dfrac{4}{x}\\ 
f_5\left(x \right) = (2x+3)^2\end{array}

Exercice 3

Soit f la fonction définie par f(x) = 3x4-2x+1. Soit Cf la courbe représentative de f.
1) Ecrire l’équation de la tangente au point x = -1 et x = 1
2) Les tangentes en -1 et 1 sont-elles parallèles ?

Exercice 4

Soit f définie par

f\left(x\right)\ =\ \frac{-x^2+2x-1}{x}

On note C sa courbe représentative
1) Déterminer les abscisses de la courbe C pour lesquels la tangente est horizontale
2) Existe-t-il des points pour lesquels la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

Exercice 5

Voici quelques dérivées complexes à calculer

\begin{array}{l}f_1\left(x\right) = \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ 
f_2\left(x\right) = \dfrac{5\ \sqrt{x}}{1+\frac{2}{x}}\\ 
f_3\left(x\right) = \dfrac{x^2+\frac{4}{x}}{x^2+\frac{x}{4}}\\ 
f_4\left(x\right) = \left(x+\dfrac{3}{x^3}\right)x^2\end{array}

Exercice 6

Soient f1, .., fn n fonctions dérivables. Déterminer la formule permettant de calculer

(f_1\times \ldots \times f_n)'

Indication : On pourra commencer par n = 3 pour bien comprendre ce qu’il se passe

Exercice 7 (proposé par Valentin Melot)

On note pour la suite f une fonction, dont on admet l’existence, définie sur les réels strictement positifs et telle que

\forall x \in \mathbb{R}_+^{*}, f'(x) = \dfrac{1}{x}

n représente un entier. Déterminer les dérivées suivantes :

\begin{array}{rll}
A(x) &=& f(x) ^n\\
B(x)& =& \dfrac{f(x^n)}{f(x)}\\
C(x) &=& e^{xf(x)}\\
D(x) &= &\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\\
E(x) &=&D'(x)\\
F(x) &=& \dfrac{x^3+1}{(x^2+1)^2}\\
G(x) &=& \dfrac{3xf(x)+1}{2xf(x)+2}\\
H(x) &=& f\left( \dfrac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+a^2}-x}\right)\\

\end{array}

Et c’est terminé pour ce cours sur la dérivation. Retrouvez tous nos articles pour réviser le bac :

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