Le Z-score : Définition, Utilisation et Exemples

Définition du Z-score

Le Z-score, également connu sous le nom de score standard, est une mesure statistique qui décrit la position d’une valeur donnée par rapport à la moyenne d’un groupe de valeurs. Plus précisément, un Z-score indique combien d’écarts-types une valeur donnée est au-dessus ou en dessous de la moyenne.

Le Z-score est calculé en utilisant la formule suivante :

Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}

Où :

• Z est le Z-score,
• X est la variable aléatoire que nous examinons,
• \mu est la moyenne de la population ou de l’échantillon,
• \sigma est l’écart-type de la population ou de l’échantillon.

Un Z-score peut être positif ou négatif, indiquant respectivement si la valeur est supérieure ou inférieure à la moyenne. Par exemple, un Z-score de +1,0 indique que la valeur est un écart-type au-dessus de la moyenne, tandis qu’un Z-score de -1,0 indique qu’elle est un écart-type en dessous de la moyenne.

II. Utilisation du Z-score

Le Z-score est fréquemment utilisé dans le domaine des statistiques pour une variété d’applications.

1. Normalisation des données : Le Z-score est souvent utilisé pour normaliser les données. En convertissant les données en Z-scores, nous pouvons les comparer sur une base commune. Par exemple, si nous voulons comparer les performances des étudiants dans différentes matières qui ont des moyennes et des écart-types différents, nous pouvons utiliser les Z-scores pour une comparaison équitable.
2. Identification des valeurs aberrantes : Les Z-scores sont également utiles pour identifier les valeurs aberrantes dans un ensemble de données. Typiquement, une valeur est considérée comme une aberration si son Z-score est supérieur à +3 ou inférieur à -3. Autrement dit, si la valeur absolue de ce score est supérieure à 3.
3. Tests d’hypothèses : En statistique inférentielle, on utilise les Z-scores dans les tests d’hypothèses. Ces Z-scores permettent de déterminer la probabilité d’observer une valeur donnée sous l’hypothèse nulle.

III. Exemples d’utilisation du Z-score

Exemple 1 : Comparaison des notes des étudiants

Supposons que nous ayons deux étudiants, Alice et Bob, qui ont respectivement obtenu des notes de 85 en mathématiques et 90 en anglais. Les moyennes des notes pour les mathématiques et l’anglais sont respectivement 80 et 70, et les écarts-types sont 10 et 15. Pour savoir qui a le mieux réussi par rapport à ses pairs, nous calculons les Z-scores pour Alice et Bob.

Z-score d’Alice en mathématiques = (85 – 80) / 10 = 0,5
Z-score de Bob en anglais = (90 – 70) / 15 = 1,33

Malgré une note plus basse, Bob a en fait mieux réussi que Alice par rapport à ses pairs car son Z-score est plus élevé.

Exemple 2 : Identification des valeurs aberrantes

Supposons que nous ayons un ensemble de données avec une moyenne de 100 et un écart-type de 20. Si nous avons une valeur de 180, nous pouvons utiliser le Z-score pour déterminer si cette valeur est une aberration.

Zscore = \dfrac{180-100}{20}= 4

Comme le Z-score est supérieur à 3, nous pouvons conclure que cette valeur est une aberration statistique.

En conclusion, le Z-score est un outil statistique polyvalent qui offre des moyens efficaces de comparer les données, d’identifier les valeurs aberrantes et de mener des tests d’hypothèses.