Dans cet article, nous allons introduire la notion de nombre complexe et voir toutes les propriétés importantes autour de la forme algébrique.
De l’utilité des complexes
Lorsque l’on souhaite résoudre l’équation x^2 = -1, on s’aperçoit que celle-ci n’a pas de solution. On va alors introduire un nombre que l’on notera i tel que i^2 = -1 . Les racines de l’équation x^2 = -1 seront alors i et -i
Définition de la forme algébrique
Un nombre complexe, noté z est un élément de la forme z = a + ib avec a,b \in \R et i défini tel que i^2 = -1. On note \mathbb{C} l’ensemble des nombres complexes.
Vocabulaire
Dans la définition ci-dessus :
- a s’appelle la partie réelle, notée Re
- b s’appelle la partie imaginaire, notée Im
Opération sur les complexes
Soient z = a+ib et z' = a'+ib' deux complexes.
- On peut les sommer : z + z' = a+ib+a'+ib' = a+a' + i(b+b')
- On peut les multiplier : zz' = (a+ib)(a'+ib') = aa' + iba' + aib' +i^2 bb' = (aa'-bb') + i (a'b+ab')
De plus, on retrouve les identités remarquables adaptées aux nombres complexes :
- (a+ib)^2 = a^2 +2iab - b^2
- (a-ib)^2 = a^2 -2iab - b^2
- (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2
Notons aussi que deux complexes z =a+ib et z' = a'+ib' sont égaux si et seulement si a = a' et b = b'
Conjugué d’un nombre complexe
Soit z= a+ib. On appelle conjugué, noté \overline{z} le complexe \overline{z} = a -ib
Inverse d’un nombre complexe
Grâce à la quantité conjuguée on peut calculer l’inverse :
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{a+ib} \\
&= \dfrac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}\\
& = \dfrac{a}{a^2+b^2}- i \dfrac{b}{a^2+b^2}
\end{array}Binôme de Newton
De plus, on peut appliquer le binôme de Newton sur les complexes : Si a et b sont deux nombres complexes, on a :
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}
