Polynôme minimal d’un endomorphisme

Cet article introduit le polynôme minimal des endomorphismes et permet de mettre en avant l’efficacité des démonstrations demandant un peu plus d’abstraction et utilisant les idéaux principaux, face à une méthode plus directe.

Prérequis

• Anneau des endomorphismes
• Polynôme caractéristique
• Théorème de Cayley-Hamilton

Définition

Le polynôme minimal d’un endomorphisme u \in L(V) est le plus petit (selon la division) polynôme noté \mu_u \in \mathbb K [X] tel que \mu_u(u) = 0 \in L(V).

De même on définit le polynôme minimal d’une matrice carrée.

Existence et unicité, par idéal principal

Fixons un endomorphisme u \in L(V), on considère

\begin{align*}
ev_u:  \mathbb K[X] & \to \mathbb K[u] \subset L(V) \\
X & \mapsto u .
\end{align*}

Le noyau du morphisme (voir de \mathbb K-algèbre) d’évaluation en u \in L(V) est un idéal de \mathbb K[X]. Comme \mathbb K[X] est un anneau principal, \ker(ev_u) est principal, c’est-à-dire engendré par un élément unique à inversible près. Les inversibles de \mathbb K[X] sont les constantes non nulles, si bien que l’on peut choisir une constante rendant le seul polynôme qui engendre \ker(ev_u) unitaire on le note \mu_u, ainsi par définition \ker(ev_u) = \mathbb K[X]\mu_u.

Existence et unicité classique

Fixons un endomorphisme u \in L(V), on considère l’ensemble

E = \{ P(X) \in \mathbb K[X] \setminus \{ 0\} | P (u) = 0 \in L(V) \} .

Le théorème de Cayley-Hamiltonnous dit que \chi_u \in E , en particulier l’ensemble E \ne \emptyset . Ainsi, \{ \ \deg(P) | P \in E \ \} \subset \mathbb{N} est non vide. Cet ensemble est minoré, il existe un polynôme P_1 de E qui atteint ce degré minimal. Si P_1 = \sum_{k=0}^{d} p_kX^k avec d = \deg(P_1) et p_d \ne 0 , on garde le polynôme unitaire :

P_0 := \frac{1}{p_d} P_1 \\ = \sum_{k=0}^{d}\frac{p_k}{p_d} X^k \\ = X^d +\sum_{k=0}^{d-1}\frac{p_k}{p_d} X^k.

Reste à montrer qu’il divise tout autre polynôme qui annule u. Prenons A qui annule u. On pose la division euclidienne de A par P_0:

\exists Q(X), R(X) \in K[X] \ \text{tels que }\\ 
A(X) = P_0(X).Q(X) + R(X) \\
 \text{avec } \deg(R) < \deg(P_0).

On évalue en u

R(u) = A(u) - P_0(u)Q(u) \\
 = 0 - 0Q(u)\\
 =0.

A(X) = P_0(X)Q(X) + R(X) \\
A(X) = P_0(X)Q(X)  +0 \\
 = P_0(X)Q(X)  \\
\Rightarrow P_0(X) | A(X).

L’unicité découle du fait que deux polynômes unitaires qui se divisent l’un et l’autre sont égaux.