La règle de l’Hôpital : Enoncé et démonstration

La règle de l’hôpital : Découvrez son énoncé, des exemples et sa démonstration !
Règle de l'hôpital

Qu’est-ce que le théorème de l’Hôpital, appelée aussi règle de l’Hospital ? Cet article va permettre d’énoncer et de démontrer cette règle !

Enoncé de la règle de l’Hôpital

Soient f et g deux fonctions dérivables en un point a et telles que f(a) = g(a) = 0. De plus, g'(a) ≠ 0. Alors, on a la propriété suivante :

\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a } \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

Généralisation

On peut remplacer a par \pm \infty . Et aussi, on peut avoir :

\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty\\
\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \pm \infty
\end{array}

Exemples

Exemple 1 : Prenons la fonction h définie par

h(x) = \dfrac{x-2}{x^2-6x+8} = \dfrac{f(x)}{g(x)} 

On a :

f(2)=g(2)=0

D’autre part,

g'(x) = 2x-6

Donc

g'(2) \neq 0 

On en déduit alors :

\lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{2x-6} = -\dfrac{1}{2}

Exemple 2 : Prenons les fonctions f et g définies par

f(x) = \ln(x)

Et

g(x) = x-1

Et étudions la limite du rapport de ces deux fonction en 1.
On a bien : f(1) = g(1) = 0
De plus, g'(x) = 1
Donc on a bien aussi g'(1) \neq 0
On va donc appliquer notre fameuse règle pour obtenir :

\lim_{x \to 1}\dfrac{f(1)}{g(1)} = \lim_{x \to 1}\dfrac{f'(1)}{g'(1)}  = \dfrac{\frac{1}{1}}{1} = 1

Démonstration de la règle de l’Hôpital

Passons maintenant à la démonstration. Celle-ci est assez simple dans le cas classique
On a la propriété suivante : f(x) = f(x)-f(a)

De même, g(x) =g(x)-g(a)

On fait donc le quotient :

\begin{array}{ll}
\dfrac{f(x)}{g(x)} & = \dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a) }\\
& =  \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a } \dfrac{x-a}{g(x)-g(a) }\\
 \end{array}

En passant à la limite :

\lim_{x\to a }\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{f'(a)}{g'(a)}

Ce qui conclut bien cette démonstration de la règle de l’Hôpital.

Si vous connaissez bien les équivalents et développements limités usuels, vous n’aurez normalement jamais besoin de cette règle. Mais parfois, elle peut être simple à utiliser et certains en sont fans alors qu’ils maitrisent les développements limités !

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2 commentaires
  1. Bonsoir monsieur. Est-ce un développement limité à l’ordre 1 que vous avez utilisez pour démontrer la règle de l’Hôpital ? Si oui je pense que à la place de f'(x) c’est f'(a) ( formule de Taylor Young). Veuillez s’il vous plaît m’eclairer à ce sujet. Merci d’avance

    1. Bonsoir,
      Non pas de développement limité à l’ordre 1 : Une fois qu’on connait les développements limités, la règle de l’hôpital devient inutile. Les déveloopements limités sont plus simples à utiliser.
      Suite à tes remarques, j’ai décidé d’utiliser une autre démonstration, qui me parait plus simple.
      Bonne soirée et à dispo pour tes questions,

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