La règle de l’Hôpital : Enoncé et démonstration

Qu’est-ce que le théorème de l’Hôpital, appelée aussi règle de l’Hospital ? Cet article va permettre d’énoncer et de démontrer cette règle !

Enoncé de la règle de l’Hôpital

Soient f et g deux fonctions dérivables en un point a et telles que f(a) = g(a) = 0. De plus, g'(a) ≠ 0. Alors, on a la propriété suivante :

\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a } \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

Généralisation

On peut remplacer a par \pm \infty . Et aussi, on peut avoir :

\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty\\
\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \pm \infty
\end{array}

Exemples

Exemple 1 : Prenons la fonction h définie par

h(x) = \dfrac{x-2}{x^2-6x+8} = \dfrac{f(x)}{g(x)} 

On a :

f(2)=g(2)=0

D’autre part,

g'(x) = 2x-6

Donc

g'(2) \neq 0 

On en déduit alors :

\lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{2x-6} = -\dfrac{1}{2}

Exemple 2 : Prenons les fonctions f et g définies par

f(x) = \ln(x)

Et

g(x) = x-1

Et étudions la limite du rapport de ces deux fonction en 1.
On a bien : f(1) = g(1) = 0
De plus, g'(x) = 1
Donc on a bien aussi g'(1) \neq 0
On va donc appliquer notre fameuse règle pour obtenir :

\lim_{x \to 1}\dfrac{f(1)}{g(1)} = \lim_{x \to 1}\dfrac{f'(1)}{g'(1)}  = \dfrac{\frac{1}{1}}{1} = 1

Démonstration de la règle de l’Hôpital

Passons maintenant à la démonstration. Celle-ci est assez simple dans le cas classique
On a la propriété suivante : f(x) = f(x)-f(a)

De même, g(x) =g(x)-g(a)

On fait donc le quotient :

\begin{array}{ll}
\dfrac{f(x)}{g(x)} & = \dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a) }\\
& =  \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a } \dfrac{x-a}{g(x)-g(a) }\\
 \end{array}

En passant à la limite :

\lim_{x\to a }\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{f'(a)}{g'(a)}

Ce qui conclut bien cette démonstration de la règle de l’Hôpital.

Si vous connaissez bien les équivalents et développements limités usuels, vous n’aurez normalement jamais besoin de cette règle. Mais parfois, elle peut être simple à utiliser et certains en sont fans alors qu’ils maitrisent les développements limités !