Le polynôme caractéristique intervient en algèbre linéaire, il trouve son intérêt principal dans le théorème de Hamilton-Cayley et permet de construire les théories de réduction. Nous noterons A un anneau commutatif unitaire, et \mathbb K un corps, V un espace vectoriel de dimension fini sur le corps \mathbb K dans cet article.
Prérequis
Contexte et explication
Pour comprendre d’où vient le polynôme caractéristique, il s’agit surtout de retenir son utilité : trouver des valeurs et vecteurs propres !
Les applications linéaires ont des “directions principales”, des droites privilégiées sur lesquelles le comportement est plus intuitif et représentable. Soit u un endomorphisme, on cherche des vecteurs le long desquels, l’endomorphisme u se comporte comme une homothétie.
On cherche un vecteur non nul v \in Vvérifiant pour un coefficient du corps \lambda \in \mathbb K pouvant être nul,
u(v) = \lambda v .
Une fois ces éléments trouvés, calculer les images de n’importe quelle combinaison polynomiale devient assez simple à comprendre. Soit un polynôme P \in \mathbb K[X] ,
\begin{array}{ll}
P(u)(v) &= \displaystyle \sum_{i=0}^{\deg(P)}p_iu^i(v) \\ &= \displaystyle \sum_{i=0}^{\deg(P)}p_i\lambda^iv \\& = P(\lambda).v
\end{array}Le vecteur (respectivement le scalaire) v \in V (resp.\ \lambda \in \mathbb K) est appelé vecteur propre (respectivement valeur propre).
La recherche des vecteurs propres est ainsi motivée. Comment trouver les vecteurs propres et valeurs propres d’un endomorphisme, où sont-ils rangés? La suite consiste juste en une suite de reformulation à l’aide de notions que vous connaissez très bien. Le polynôme caractéristique n’a rien de très nouveau.
\begin{align*}
& u(v) = \lambda.v \\
\iff& u(v) = (\lambda.Id_V)(v) \\
\iff& (\lambda.Id_V)(v) - u(v) = 0 \\
\iff& ( \lambda.Id_V - u)(v) = 0\\
\end{align*}Ce qui reformuler ici revient à dire que v est un vecteur non nul qui est dans le noyau (\Rightarrow donc noyau non vide !) d’un endomorphisme fraîchement proposé \lambda.Id_V - u. Cette reformulation permet beaucoup de déduction ! Mettons de côté les vecteurs propres, nous savons où les trouver, il faut chercher dans les noyaux de \lambda.Id_V - u lorsqu’ils sont non restreints à \{ 0\} une fois que l’on a saisi une valeur propre. La dernière quête est de trouver les valeurs propres. Une valeur \lambda \in \mathbb K est propre, s’il existe au moins un vecteur non nul dans le noyau :
\ker(\lambda.Id_V - u) \ne \{0 \}.\\
\iff \lambda.Id_V - u \text{ est non inversible} \\
Ces remarques amènent à la définition du polynôme caractéristique.
Polynôme caractéristique d’une matrice
Soit M \in M_n(A), on appelle polynôme caractéristique de M le polynôme défini par :
\chi : M_n(A) \to A[X] \\ \chi_M := \det(X.I_n - M) \in A[X]. \\
Vous étiez peut-être habitué à considérer le déterminant de matrice “fixe” dans M_n(A). Ne soyez pas perdu, pour chaque valeur de X fixé il l’est, et se calcule tout comme. Si vous souhaitez voir plus loin, alors on peut considérer le polynôme caractéristique, comme un seul déterminant, d’une matrice plus grosse de M_n(A[X]) où les coefficients sont des polynômes.
Par ailleurs le déterminant est invariant par conjugaison des matrices, c’est-à-dire pour tout M \in M_n(A), P \in Gl_n(A),
\det(PMP^{-1}) = \det(M).Il en suit que le polynôme caractéristique est un invariant de la classe de similitude d’une matrice, c’est-à-dire qu’importe M \in M_n(A):
\chi_{PMP^{-1}} = \chi_M .Détail des calculs :
\begin{align*}
\chi_{PMP^{-1}} & = \det(X.I_n - PMP^{-1}) \\
& = \det(PXP^{-1} - PMP^{-1}) \\
& = \det(P[XI_n - M]P^{-1}) \\
& = \det(P)\det(XI_n - M) \det(P^{-1}) \\
& = \det(P)\det(P^{-1})\det(XI_n - M) \\
& = \det(PP^{-1})\det(XI_n - M) \\
& = \det(I_n)\det(XI_n - M) \\
& = \det(XI_n - M) \\
& = \chi_M.\\
\end{align*}L’avantage d’avoir cette propriété est de pouvoir discuter sans aucune ambiguïté du polynôme caractéristique d’un endomorphisme sans avoir à se soucier de la base.
Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme u \in L(V), B une base ordonnée de V et Mat_B(u) la matrice de u dans cette base. Sans ambiguïté le polynôme caractéristique de u noté \chi_u \in K[X] est défini par :
\chi_u = \det(X.I - Mat_B(u)) \in \mathbb K[X].
Les zéros du polynôme caractéristique indiquent les valeurs propres de l’endomorphisme.
Exercices
- Calculer (par récurrence sur la dimension de l’espace) le degré d’un polynôme caractéristique. On trouvera une intuition de la formule en étudiant des cas particuliers de petites dimensions. En déduire une majoration du nombre de valeur propre possible.
- Les vecteurs propres sont par définition non nuls, montrer qu’un vecteur v \in V ne peut pas être lié à deux valeurs propres différentes.
- Si l’on se fixe une valeur propre \lambda \in \mathbb K on appelle espace propre, l’ensemble des vecteurs propres lié à \lambda et le vecteur 0. C’est le sous-espace vectoriel \ker(u-\lambda) \subset V. Quel est le polynôme caractéristique de u restreint à cette espace ?
- Montrer que \chi_u(u)(v) = 0 pour tout vecteur propre v \in V . Le théorème de Hamilton-Cayley, énonce que ceci est vrai en réalité qu’importe le vecteur choisi, disponible dans un prochain article.
- Montrer que le théorème de Hamilton-Cayley est vrai pour les matrices diagonalisables.
