Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est le produit scalaire à travers ses différentes définitions, ses propriétés les plus importantes et des exercices corrigés. Cet article est niveau prépa, si vous êtes au lycée, allez plutôt voir notre article dédié :
Définition du produit scalaire
Soient E un \R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire, noté \langle . | . \rangle et définie sur E \times x E \to \R toute forme bilinéaire symétrique définie positive. Voici ce que cela signifie :
- bilinéaire : \forall x,y,z \ in E, \forall \lambda \in \R, \langle x+\lambda y | z\rangle = \langle x | z \rangle + \lambda \langle y | z \rangle et \langle x | y+\lambda z\rangle= \langle x | z\rangle + \lambda \langle x| y\rangle
- symétrique : \forall x,y \in E, \langle x| y\rangle = \langle y| x \rangle
- définie : \forall x \in E, \langle x| x\rangle = 0 \iff x = 0
- positive : \forall x \in E, \langle x| x\rangle \geq 0
Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel.
Produit scalaire canonique
Soit x = (x_1,\ldots,x_n) et y = (y_1, \ldots,y_n) deux vecteurs de \R^n . On appelle produit scalaire canonique \langle . | . \rangle , la quantité
\langle x | y \rangle = \sum_{k=1}^n x_ky_k
Matriciellement, on peut écrire cette quantité ({}^t X )Y
Un espace vectoriel sur \R muni d’un produit scalaire est dit
- euclidien s’il est de dimension finie.
- préhilbertien s’il est de dimension infinie.
Lien avec la norme
On pose :
||x||= \sqrt{\langle x| x\rangle}
Cette quantité s’appelle la norme du vecteur x. Plus précisément, c’est la norme euclidienne.
Orthogonalité
Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . Soient x et y deux vecteurs de E. On dit que x et y sont orthogonaux si \langle x |y \rangle = 0. La notation associée est x \perp y .
Soit une famille de vecteurs (x_1, \ldots, x_n) . Cette famille est dite :
- Orthogonale si \forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, i \neq j \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = 0
- Orthonormée ou orthonormale si \forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = \delta_{i,j} où \delta est le symbole de Kronecker
Propriétés du produit scalaire
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit \langle . | . \rangle un produit scalaire sur E. On a la propriété suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz :
\forall x,y \in E, |\langle x|y\rangle |\leq ||x||.||y||
Identité du parallélogramme
Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . On appelle identité du parallélogramme la propriété suivante :
\forall x,y \in E, ||x+y||^2 + ||x-y|| ^2 = ||x||^2 + ||y||^2
Identité de polarisation
Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . On appelle identité de polarisation la propriété suivante :
\forall x,y \in E, \langle x |y \rangle = \dfrac{1}{2}\left( ||x+y||^2 - ||x|| ^2 - ||y||^2 \right) = \dfrac{1}{4} \left(||x+y||^2 - ||x-y||^2\right)
Théorème de Pythagore
Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . Soit (x_1,\ldots,x_n) une famille orthogonale de vecteurs de E. On appelle théorème de Pythagore la propriété suivante (qui est une généralisation du fameux théorème vu au collège)
\left\| \sum_{k=1} x_i \right\|^2 = \sum_{k=1}^n \| x_i\|^2
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé :

Corrigé : La réponse est oui et est assez simple. Notons \mathcal{B}= (e_1,\ldots,e_n) . On pose \langle . | . \rangle l’application bilinéaire qui vérifie \langle e_i | e_j \rangle = \delta_{i,j} . Cela définit bien un produit scalaire :
- Elle est bilinéaire par définition
- Elle est symétrique
- Elle est définie : Soit x un vecteur de E. On a x = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i e_i . On a alors :
\begin{array} {ll} \langle x | x \rangle &= \displaystyle \left\langle \sum_{i=1}^n x_i e_i | \sum_{i=1}^n x_i e_i \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \left\langle e_i | \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^n x_j \left\langle e_i | e_j \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i x_j \delta_{i,j}\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2\\ \end{array}
On en déduit donc, par positivité de cette somme : \langle x | x \rangle = \iff \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 = 0 \iff x = 0 . Cette forme est donc bien définie.
- Elle est positive, en effet, on a montré juste au-dessus \forall x \in E, \langle x | x \rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 \geq 0
Ceci définit donc bien un produit scalaire, ce qui nous permet de conclure cet exercice.
Exercice 2
Enoncé :

Corrigé : Raisonnons par analyse synthèse pour faire cet exercice. Regardons le caractère positif en x. On pose x = y + z avec y colinéaire à a et z orthogonal à a. De plus, on peut écrire y \alpha a . On obtient :
\begin{array}{ll} \varphi(x,x) &= \lang x,x \rang + k \lang x,a \rang ^2 \\ &= \lang y+z,y+z \rang + k \lang y+z,a \rang ^2 \\ &= \lang y,y \rang + \lang z,z \rang+ k \lang y,a \rang ^2 \\ &= \alpha^2 \lang a,a \rang + ||z||^2+ k \alpha^2\lang a,a \rang ^2 \\ &= \alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 \\ \end{array}
On obtient donc comme condition, car z peut valoir 0, k > -1 .
Réciproquement, si k > -1 , la forme est bien symétrique. Elle est bilinéaire : \forall x,y,z \in E, \lambda \in \R :
\begin{array}{ll} \varphi( x+\lambda y,z)&= \lang x+\lambda y| z\rang+k\lang x+ \lambda y | a\rang\lang z| a\rang\\ &= \lang x| z\rang+k\lang x | a\rang\lang z| a\rang+\lambda( \lang y| z\rang+k\lang y | a\rang\lang z| a\rang)\\ &= \varphi(x,z)+ \lambda \varphi(y,z) \end{array}
Elle est bien positive, car on a montré, en reprenant les notation d’au-dessus que \varphi(x,x)=\alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 \geq 0
Elle est bien définie aussi, en reprenant les notation, on a : \varphi(x,x)=0 \iff \alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 = 0 \iff \alpha = 0 , z = 0 . Or, x = \alpha y +z = 0 . Donc x = 0.
On a donc bien un produit scalaire. La condition nécessaire et suffisante recherchée est donc k > -1 .
Exercice 3
Enoncé :

Corrigé :
Les vecteurs sont unitaires. On a donc juste besoin de montrer qu’ils sont orthogonaux et qu’on a bien une base. Montrons qu’ils sont orthogonaux. Considérons pour cela \|e_i \|^2
\begin{array}{ll} \|e_i \|^2 &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 \\ &= ||e_i||^4 + \displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 \end{array}
Or, |e_i |^2 = |e_i |^4 = 1. Donc \displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0 . C’est une somme de termes positifs donc \forall k\neq i \lang e_1 |e_k \rang = i \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0 . On a donc bien démontré le caractère orthogonal. Maintenant, soit x \notin vect(e_1,\ldots,e_n). On a :
\|x\|^2 = \sum_{k=1}^n \lang x |e_i \rang^2 = \sum_{k=1}^n0 = 0
On en déduit que x = 0. Donc tout élément est dans vect(e_1,\ldots,e_n). Donc c’est bien une famille génératrice. Le caractère orthogonal assure la liberté de la famille. En effet, si
\begin{array}{ll} & \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k= 0\\ \Rightarrow & \displaystyle \left\lang\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k, e_i \right\rang = 0\\ \Rightarrow & \displaystyle \sum_{k=1}^n \lambda_k\left\lang e_k, e_i \right\rang = 0\\ \Rightarrow & \displaystyle \lambda_k\left\lang e_k, e_k \right\rang = 0\\ \Rightarrow & \displaystyle \lambda_k = 0 \end{array}
Donc la famille (e_1, \ldots, e_n) est une base de E, ce qui termine cet exercice !