Le produit scalaire en prépa : Cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est le produit scalaire à travers ses différentes définitions, ses propriétés les plus importantes et des exercices corrigés. Cet article est niveau prépa, si vous êtes au lycée, allez plutôt voir notre article dédié :

Définition du produit scalaire

Soient E un \R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire, noté \langle . | . \rangle et définie sur E \times x E \to \R toute forme bilinéaire symétrique définie positive. Voici ce que cela signifie :

• bilinéaire : \forall x,y,z \ in E, \forall \lambda \in \R, \langle x+\lambda y | z\rangle = \langle x | z \rangle + \lambda \langle y | z \rangle et \langle x | y+\lambda z\rangle= \langle x | z\rangle + \lambda \langle x| y\rangle
• symétrique : \forall x,y \in E, \langle x| y\rangle = \langle y| x \rangle
• définie : \forall x \in E, \langle x| x\rangle = 0 \iff x = 0
• positive : \forall x \in E, \langle x| x\rangle \geq 0

Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel.

Produit scalaire canonique

Soit x = (x_1,\ldots,x_n) et y = (y_1, \ldots,y_n) deux vecteurs de \R^n . On appelle produit scalaire canonique \langle . | . \rangle , la quantité

\langle x | y \rangle = \sum_{k=1}^n x_ky_k

Matriciellement, on peut écrire cette quantité ({}^t X )Y

Un espace vectoriel sur \R muni d’un produit scalaire est dit

• euclidien s’il est de dimension finie.
• préhilbertien s’il est de dimension infinie.

Lien avec la norme

On pose :

||x||= \sqrt{\langle x| x\rangle}

Cette quantité s’appelle la norme du vecteur x. Plus précisément, c’est la norme euclidienne.

Orthogonalité

Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . Soient x et y deux vecteurs de E. On dit que x et y sont orthogonaux si \langle x |y \rangle = 0. La notation associée est x \perp y .

Soit une famille de vecteurs (x_1, \ldots, x_n) . Cette famille est dite :

• Orthogonale si \forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, i \neq j \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = 0
• Orthonormée ou orthonormale si \forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = \delta_{i,j} où \delta est le symbole de Kronecker

Propriétés du produit scalaire

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit \langle . | . \rangle un produit scalaire sur E. On a la propriété suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz :

\forall x,y \in E, |\langle x|y\rangle |\leq ||x||.||y||

Identité du parallélogramme

Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . On appelle identité du parallélogramme la propriété suivante :

\forall x,y \in E, ||x+y||^2 + ||x-y|| ^2 = ||x||^2 + ||y||^2

Identité de polarisation

Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . On appelle identité de polarisation la propriété suivante :

\forall x,y \in E, \langle x |y \rangle = \dfrac{1}{2}\left( ||x+y||^2 - ||x|| ^2 - ||y||^2 \right) = \dfrac{1}{4} \left(||x+y||^2 - ||x-y||^2\right)

Théorème de Pythagore

Soit E muni d’un produit scalaire \langle . | . \rangle . Soit (x_1,\ldots,x_n) une famille orthogonale de vecteurs de E. On appelle théorème de Pythagore la propriété suivante (qui est une généralisation du fameux théorème vu au collège)

\left\| \sum_{k=1} x_i \right\|^2 = \sum_{k=1}^n \| x_i\|^2

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé :

Corrigé : La réponse est oui et est assez simple. Notons \mathcal{B}= (e_1,\ldots,e_n) . On pose \langle . | . \rangle l’application bilinéaire qui vérifie \langle e_i | e_j \rangle = \delta_{i,j} . Cela définit bien un produit scalaire :

• Elle est bilinéaire par définition
• Elle est symétrique
• Elle est définie : Soit x un vecteur de E. On a x = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i e_i . On a alors :

\begin{array} {ll}
\langle x | x \rangle &= \displaystyle \left\langle \sum_{i=1}^n x_i e_i | \sum_{i=1}^n x_i e_i \right\rangle\\
 &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \left\langle  e_i | \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle\\
 &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^n x_j \left\langle  e_i | e_j \right\rangle\\
 &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i  x_j \delta_{i,j}\\
 &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2\\
\end{array}

On en déduit donc, par positivité de cette somme : \langle x | x \rangle = \iff \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 = 0 \iff x = 0 . Cette forme est donc bien définie.

• Elle est positive, en effet, on a montré juste au-dessus \forall x \in E, \langle x | x \rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 \geq 0

Ceci définit donc bien un produit scalaire, ce qui nous permet de conclure cet exercice.

Exercice 2

Enoncé :

Corrigé : Raisonnons par analyse synthèse pour faire cet exercice. Regardons le caractère positif en x. On pose x = y + z avec y colinéaire à a et z orthogonal à a. De plus, on peut écrire y \alpha a . On obtient :

\begin{array}{ll}
\varphi(x,x) &= \lang x,x \rang + k \lang x,a \rang ^2 \\
&=  \lang y+z,y+z \rang + k \lang y+z,a \rang ^2 \\
&=  \lang y,y \rang +  \lang z,z \rang+ k \lang y,a \rang ^2 \\
&=  \alpha^2 \lang a,a \rang +  ||z||^2+ k \alpha^2\lang a,a \rang ^2 \\
&=  \alpha^2 (1+k)+  ||z||^2 \\
 \end{array}

On obtient donc comme condition, car z peut valoir 0, k > -1 .

Réciproquement, si k > -1 , la forme est bien symétrique. Elle est bilinéaire : \forall x,y,z \in E, \lambda \in \R :

\begin{array}{ll}
\varphi( x+\lambda y,z)&= \lang x+\lambda y| z\rang+k\lang x+ \lambda y | a\rang\lang z| a\rang\\
&= \lang x| z\rang+k\lang x | a\rang\lang z| a\rang+\lambda( \lang  y| z\rang+k\lang y | a\rang\lang z| a\rang)\\
&= \varphi(x,z)+ \lambda \varphi(y,z)
\end{array}

Elle est bien positive, car on a montré, en reprenant les notation d’au-dessus que \varphi(x,x)=\alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 \geq 0

Elle est bien définie aussi, en reprenant les notation, on a : \varphi(x,x)=0 \iff \alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 = 0 \iff \alpha = 0 , z = 0 . Or, x = \alpha y +z = 0 . Donc x = 0.

On a donc bien un produit scalaire. La condition nécessaire et suffisante recherchée est donc k > -1 .

Exercice 3

Enoncé :

Corrigé :
Les vecteurs sont unitaires. On a donc juste besoin de montrer qu’ils sont orthogonaux et qu’on a bien une base. Montrons qu’ils sont orthogonaux. Considérons pour cela \|e_i \|^2

\begin{array}{ll}
\|e_i \|^2  &= \displaystyle\sum_{k=1}^n  \lang e_1 |e_k \rang^2 \\
&= ||e_i||^4 + \displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n  \lang e_1 |e_k \rang^2
\end{array}

Or, |e_i |^2 = |e_i |^4 = 1. Donc \displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0 . C’est une somme de termes positifs donc \forall k\neq i \lang e_1 |e_k \rang = i \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0 . On a donc bien démontré le caractère orthogonal. Maintenant, soit x \notin vect(e_1,\ldots,e_n). On a :

\|x\|^2  = \sum_{k=1}^n \lang x |e_i \rang^2 = \sum_{k=1}^n0 = 0

On en déduit que x = 0. Donc tout élément est dans vect(e_1,\ldots,e_n). Donc c’est bien une famille génératrice. Le caractère orthogonal assure la liberté de la famille. En effet, si

\begin{array}{ll}
& \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k= 0\\
\Rightarrow & \displaystyle \left\lang\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k, e_i \right\rang = 0\\
\Rightarrow & \displaystyle \sum_{k=1}^n \lambda_k\left\lang e_k, e_i \right\rang = 0\\
\Rightarrow & \displaystyle  \lambda_k\left\lang e_k, e_k \right\rang = 0\\
\Rightarrow & \displaystyle  \lambda_k = 0
\end{array}

Donc la famille (e_1, \ldots, e_n) est une base de E, ce qui termine cet exercice !

Exercices