Le produit scalaire en prépa : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur le produit scalaire, niveau prépa : Définition, propriété et exercices corrigés

12 août 2022

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Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est le produit scalaire à travers ses différentes définitions, ses propriétés les plus importantes et des exercices corrigés. Cet article est niveau prépa, si vous êtes au lycée, allez plutôt voir notre article dédié :

Découvrez notre article le produit scalaire au lycée

Définition du produit scalaire

Soient $E$ un $\R$ -espace vectoriel. On appelle produit scalaire, noté $\langle . | . \rangle$ et définie sur $E \times x E \to \R$ toute forme bilinéaire symétrique définie positive. Voici ce que cela signifie :

bilinéaire : $\forall x,y,z \ in E, \forall \lambda \in \R, \langle x+\lambda y | z\rangle = \langle x | z \rangle + \lambda \langle y | z \rangle$ et $\langle x | y+\lambda z\rangle= \langle x | z\rangle + \lambda \langle x| y\rangle$

symétrique : $\forall x,y \in E, \langle x| y\rangle = \langle y| x \rangle$
définie : $\forall x \in E, \langle x| x\rangle = 0 \iff x = 0$
positive : $\forall x \in E, \langle x| x\rangle \geq 0$

Le produit scalaire entre deux vecteurs est un réel.

Produit scalaire canonique

Soit $x = (x_1,\ldots,x_n)$ et $y = (y_1, \ldots,y_n)$ deux vecteurs de $\R^n$ . On appelle produit scalaire canonique $\langle . | . \rangle$ , la quantité

\langle x | y \rangle = \sum_{k=1}^n x_ky_k

Matriciellement, on peut écrire cette quantité $({}^t X )Y$

Un espace vectoriel sur $\R$ muni d’un produit scalaire est dit

euclidien s’il est de dimension finie.
préhilbertien s’il est de dimension infinie.

Lien avec la norme

On pose :

||x||= \sqrt{\langle x| x\rangle}

Cette quantité s’appelle la norme du vecteur $x$ . Plus précisément, c’est la norme euclidienne.

Orthogonalité

Soit $E$ muni d’un produit scalaire $\langle . | . \rangle$ . Soient x et y deux vecteurs de E. On dit que x et y sont orthogonaux si $\langle x |y \rangle$ = 0. La notation associée est $x \perp y$ .

Soit une famille de vecteurs $(x_1, \ldots, x_n)$ . Cette famille est dite :

Orthogonale si $\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, i \neq j \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = 0$
Orthonormée ou orthonormale si $\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2, \Rightarrow \langle x_i |x_j \rangle = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le symbole de Kronecker

Propriétés du produit scalaire

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit $\langle . | . \rangle$ un produit scalaire sur $E$ . On a la propriété suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz :

\forall x,y \in E, |\langle x|y\rangle |\leq ||x||.||y||

Identité du parallélogramme

Soit $E$ muni d’un produit scalaire $\langle . | . \rangle$ . On appelle identité du parallélogramme la propriété suivante :

\forall x,y \in E, ||x+y||^2 + ||x-y|| ^2 = ||x||^2 + ||y||^2

Identité de polarisation

Soit $E$ muni d’un produit scalaire $\langle . | . \rangle$ . On appelle identité de polarisation la propriété suivante :

\forall x,y \in E, \langle x |y \rangle = \dfrac{1}{2}\left( ||x+y||^2 - ||x|| ^2 - ||y||^2 \right) = \dfrac{1}{4} \left(||x+y||^2 - ||x-y||^2\right)

Théorème de Pythagore

Soit $E$ muni d’un produit scalaire $\langle . | . \rangle$ . Soit $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille orthogonale de vecteurs de $E$ . On appelle théorème de Pythagore la propriété suivante (qui est une généralisation du fameux théorème vu au collège)

\left\| \sum_{k=1} x_i \right\|^2 = \sum_{k=1}^n \| x_i\|^2

Retrouvez notre cours sur le théorème de Pythagore

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé :

Corrigé : La réponse est oui et est assez simple. Notons $\mathcal{B}= (e_1,\ldots,e_n)$ . On pose $\langle . | . \rangle$ l’application bilinéaire qui vérifie $\langle e_i | e_j \rangle = \delta_{i,j}$ . Cela définit bien un produit scalaire :

Elle est bilinéaire par définition

Elle est symétrique
Elle est définie : Soit x un vecteur de E. On a $x = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i e_i$ . On a alors :

\begin{array} {ll} \langle x | x \rangle &= \displaystyle \left\langle \sum_{i=1}^n x_i e_i | \sum_{i=1}^n x_i e_i \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \left\langle e_i | \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j=1}^n x_j \left\langle e_i | e_j \right\rangle\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i x_j \delta_{i,j}\\ &= \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2\\ \end{array}

On en déduit donc, par positivité de cette somme : $\langle x | x \rangle = \iff \displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 = 0 \iff x = 0$ . Cette forme est donc bien définie.

Elle est positive, en effet, on a montré juste au-dessus $\forall x \in E, \langle x | x \rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i ^2 \geq 0$

Ceci définit donc bien un produit scalaire, ce qui nous permet de conclure cet exercice.

Exercice 2

Enoncé :

Corrigé : Raisonnons par analyse synthèse pour faire cet exercice. Regardons le caractère positif en x. On pose x = y + z avec y colinéaire à a et z orthogonal à a. De plus, on peut écrire $y \alpha a$ . On obtient :

\begin{array}{ll} \varphi(x,x) &= \lang x,x \rang + k \lang x,a \rang ^2 \\ &= \lang y+z,y+z \rang + k \lang y+z,a \rang ^2 \\ &= \lang y,y \rang + \lang z,z \rang+ k \lang y,a \rang ^2 \\ &= \alpha^2 \lang a,a \rang + ||z||^2+ k \alpha^2\lang a,a \rang ^2 \\ &= \alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 \\ \end{array}

On obtient donc comme condition, car z peut valoir 0, $k > -1$ .

Réciproquement, si $k > -1$ , la forme est bien symétrique. Elle est bilinéaire : $\forall x,y,z \in E, \lambda \in \R$ :

\begin{array}{ll} \varphi( x+\lambda y,z)&= \lang x+\lambda y| z\rang+k\lang x+ \lambda y | a\rang\lang z| a\rang\\ &= \lang x| z\rang+k\lang x | a\rang\lang z| a\rang+\lambda( \lang y| z\rang+k\lang y | a\rang\lang z| a\rang)\\ &= \varphi(x,z)+ \lambda \varphi(y,z) \end{array}

Elle est bien positive, car on a montré, en reprenant les notation d’au-dessus que $\varphi(x,x)=\alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 \geq 0$

Elle est bien définie aussi, en reprenant les notation, on a : $\varphi(x,x)=0 \iff \alpha^2 (1+k)+ ||z||^2 = 0 \iff \alpha = 0 , z = 0$ . Or, $x = \alpha y +z = 0$ . Donc x = 0.

On a donc bien un produit scalaire. La condition nécessaire et suffisante recherchée est donc $k > -1$ .

Exercice 3

Enoncé :

Corrigé :
Les vecteurs sont unitaires. On a donc juste besoin de montrer qu’ils sont orthogonaux et qu’on a bien une base. Montrons qu’ils sont orthogonaux. Considérons pour cela $\|e_i \|^2$

\begin{array}{ll} \|e_i \|^2 &= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 \\ &= ||e_i||^4 + \displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 \end{array}

Or, $|e_i |^2 = |e_i |^4 = 1$ . Donc $\displaystyle\sum_{k=1, k\neq i}^n \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0$ . C’est une somme de termes positifs donc $\forall k\neq i \lang e_1 |e_k \rang = i \lang e_1 |e_k \rang^2 = 0$ . On a donc bien démontré le caractère orthogonal. Maintenant, soit $x \notin vect(e_1,\ldots,e_n)$ . On a :

\|x\|^2 = \sum_{k=1}^n \lang x |e_i \rang^2 = \sum_{k=1}^n0 = 0

On en déduit que x = 0. Donc tout élément est dans $vect(e_1,\ldots,e_n)$ . Donc c’est bien une famille génératrice. Le caractère orthogonal assure la liberté de la famille. En effet, si