Dans cet article, nous allons définir la notion d’anneaux, qui est l’une des principales structures algébriques.
Prérequis
Définition d’un anneau
Soit A un ensemble et deux lois de composition interne notées + et \times . Un anneau vérifie les propriétés suivantes :
- (A,+ ) est un groupe abélien de neutre noté 0_A
- La loi \times est associative : \forall a,b,c \in A, (a \times b) \times c= a \times ( b \times c)
- La loi \times possède un neutre noté 1_A
- La loi \times est distributive par rapport à la loi +, c’est-à-dire que \forall a,b,c \in A, a \times (b+c) = a \times b + a \times c et (b+c) \times a = b \times a + c \times a
On peut donc développer un produit avec la formule (a+b)\times (c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d . Attention à l’ordre des termes pour les multiplications si l’anneau n’est pas commutatif.
Vocabulaire et propriétés
Si a et b sont deux éléments commutatifs, le binôme de Newton est valable :
(a+b) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}On a aussi l’autre identité remarquable :
a^n -b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}Dont la démonstration est la même que pour les réels dans les deux cas.
Un anneau est dit intègre si : \forall a,b \in A , a \times b = 0_A \Longrightarrow a = 0_A \text{ ou } b=0_A. \R est un anneau intègre tandis que l’anneau des matrices M_n(\R) n’en est pas un.
Dans un anneau non intègre, un élément a est appelé diviseur de 0 si \exists b \in A \backslash \{0\}, ab =0
Un élément a est dit idempotent si et seulement si a^2 =a . Il est dit nilpotent si et seulement si \exists n \in \N, a^n = 0 .
Un élément est dit régulier à gauche (resp. à droite) si et seulement si \forall b,c \in A, ba = ca \Longrightarrow b=c (resp. ab = ac \Longrightarrow b=c)
Soit A un anneau, on appelle unité de A tout élément x \in A tel qu’il existe y \in A vérifiant xy= 1 . L’ensemble des éléments inversibles est un groupe pour la multiplication appelé groupe des unités de A. Dans un anneau, on a toujours 2 inversibles (parfois égaux) qui sont 1 et -1.
Exemples d’anneaux
Voici quelques exemples d’anneaux :
- (\mathbb{Z}, + , \times), (\mathbb{Q}, + , \times), (\mathbb{R}, + , \times), (\mathbb{C}, + , \times) sont des anneaux commutatifs
- (M_n(\R), +, \times) est un anneau non commutatif
Sous-anneaux
Soit A un anneau. B est un sous-anneau de A si et seulement si :
- B \subset A
- 1_A \in B
- \forall a,b \in B, a-b \in B
- \forall a,b \in B, a \times b \in B
De plus, en prenant la troisième propriété avec a = b, on obtient naturellement que 0_A \in B .
Par exemple (\mathbb{Q}, + , \times) est un sous-anneau de (\mathbb{R}, + , \times) . Et voici un autre exemple : l’ensemble des suites réelles convergentes est un sous-anneau de l’ensemble des suites réelles.
Morphisme d’anneaux
Soient A,B deux anneaux. f : A \to B est un morphisme d’anneaux s’il vérifie :
- f(1_A) = f(1_B)
- \forall a,b \in A, f(a+b) = f(a) + f(b)
- \forall a,b \in A, f(a \times b ) = f(a) \times f(b)
Comme pour les groupes, on a le vocabulaire suivant :
- Si A= B, on parle d’endomorphisme d’anneaux
- Lorsque le morphisme est bijectif, on parle d’isomorphisme d’anneaux
- Si A= B et que le morphisme est bijectif, on parle d’automorphismes d’anneaux
Et tout comme les groupes, on note ker(f) = f^{-1}(\{0\})
