Définition

En tant que réciproque (terminale S)

Le logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, définie de R+* dans R.

\begin{array}{l}\forall \ x\ \in \ \mathbb{R}_+^* ,\ \exp \left(\ln \left(x\right)\right)=\ x\\
\forall \ x\ \in \ \mathbb{R},\ \ln \left(\exp \left(x\right)\right)\ =\ x \end{array}

Cette fonction est notée ln.

\forall x \in \R_+^*, \ln : x \mapsto \ln x

En tant que primitive

Le logarithme népérien est la primitive définie sur les réels positifs de la fonction inverse telle que ln(1) = 0

\begin{array}{l}\forall x\ \in\mathbb{R}_+^*,\ \ln^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{1}{x}\\
\ln\left(1\right)\ =\ 0\end{array}

Graphe

Voici le graphe de la fonction logarithme :

Logarithme

Propriétés

Le logarithme est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition.
ln(1) = 0
Le logarithme est une fonction dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est la fonction inverse :

\forall x \in \R_+^*, \ln'(x) = \frac{1}{x}

Limites

Voici les limites de la fonction logarithme en ses bornes :

\begin{array}{l}\lim_{x\to0^+}\ln\left(x\right)\ =\ -\infty\\
\lim_{x\to+\infty}\ln\left(x\right)\ =\ +\ \infty\end{array}

Le logarithme a une croissance très lente, voici d’autres limite à retenir :

\begin{array}{l}\lim_{x\to+\infty}\ \frac{\ln\left(x\right)}{x}=\ 0\\ \\
\forall\ n\ >0,\ \lim_{x\to+\infty}\ \frac{\ln\left(x\right)}{x^n}=0\\ \\
\lim_{x\to0}\ x\ln\left(x\right)\ =\ 0\\ \\
\forall\ n\ >0,\ \lim_{x\to0}\ x^{n\ }\ln\left(x\right)\ =\ 0\\ \\
\lim_{x\to0}\ \frac{\ln\left(1+x\right)}{x}=\ 1\end{array}

Propriétés de calcul

Tout comme l’exponentielle, le logarithme présente diverses propriétés bien pratiques :

\begin{array}{l}\forall a,b \in \mathbb R_+^* \\ \\
\ln(ab)=\ln(a)\ +\ \ln\left(b\right)\\ \\
\ln\left(a^n\right)\ =\ n\ \ln\left(a\right)\\ \\
\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln\left(a\right)\\ \\
\ln\left(\frac{a}{b}\right)\ =\ \ln\left(a\right)\ -\ \ln\left(b\right)\\ \\
\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a \end{array}

On a aussi la réciprocité avec l’exponentielle :

\begin{array}{l}\forall \ x\ \in \ \mathbb{R}_+^* ,\ \exp \left(\ln \left(x\right)\right)=\ x\\
\forall \ x\ \in \ \mathbb{R},\ \ln \left(\exp \left(x\right)\right)\ =\ x \\
\forall a \in \R_+^* \forall b \in \R, a^b = \exp(b \ln(a))
\end{array}

Exemples

Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :

\ln\left(3x+1\right)+\ln\left(4x+3\right)\ =\ \ln\left(x\right)\ 

Premier point : On s’assure de bien étudier la fonction là où elle est définie. Donc ce qui est à l’intérieur doit être positif. Ainsi, ces 3 conditions doivent être vérifiées :

\begin{array}{l}3x+1>0\ \Leftrightarrow\ 3x\ >-1\ \Leftrightarrow\ x\ >\ -\frac{1}{3}\\ \\
4x+3>0\ \Leftrightarrow\ 4x\ >-3\ \Leftrightarrow\ x\ >\ -\frac{3}{4}\\ \\
x\ >0\end{array}

Pour que ces 3 conditions soient vérifiées, il suffit que x > 0.
Maintenant, place à la résolution :

\begin{array}{l}\ln \left(3x+1\right)+\ln \left(4x+3\right)\ =\ \ln \left(x\right)\ \\
\Leftrightarrow \ \ln \left(\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)\right)\ =\ \ln \left(x\right)\\
\Leftrightarrow \ \ln \left(12x^2+9x+4x+3\right)\ =\ \ln \left(x\right)\\
\Leftrightarrow \ln \left(12x^2+13x+3\right)\ =\ \ln \left(x\right)\\
\Leftrightarrow \ 12x^2+13x\ +\ 3\ =\ x\\
\Leftrightarrow \ 12x^2+12x+\ 6\ =\ 0\\
\Leftrightarrow 2x^2+2x+1\ =\ 0\end{array}

On est ensuite ramenés à une équation du second degré :

\Delta\ =\ 2^{2\ }-2\ \times4\times1\ =\ -4\ <\ 0\ 

L’équation n’a donc pas de solution réelle.

Exemple 2
Résoudre l’équation suivante. Trouver tous les entiers n tels que :

1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge\ 0.99

Voici la résolution de ce problème :

\begin{array}{l}1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge \ 0.99\\ \\
\Leftrightarrow \ 0.01-\left(\frac{4}{5}\right)^{n\ }\ge \ 0\\ \\
\Leftrightarrow \ 0.01\ \ge \ \left(\frac{4}{5}\right)^n\\ \\
\Leftrightarrow \ \exp \left(n\ \ln \left(\frac{4}{5}\right)\right)\ \le \ 0.01\\ \\
\Leftrightarrow \ \ n\ \ln \left(\frac{4}{5}\right)\ \le \ \ln \left(0.01\right)\ \left(On\ applique\ le\ logarithme\ qui\ est\ une\ fonction\ croissante\right)\\ \\
\Leftrightarrow \ n\ \ge \ \frac{\ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\right)}\ \left(On\ change\ le\ sens\ de\ l^{\prime}inégalité\ car\ \ln \left(\frac{4}{5}\right)\ <0\ \right)\\ \\
Or,\ \frac{\ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\right)}\ \approx 20.63\\ \\
Donc\ n\ \ge \ 21\end{array}

Exercices

Exercice 1
On place un capital à 5% par an par intérêts composés, c’est à dire que chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ? Si vous voulez en savoir plus, allez voir notre article sur comment devenir riche.

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes :

\begin{array}{l}\ln\left(3x-2\right)\ +\ \ln\left(2x-1\right)\ =\ \ln\left(x\right)\\
\ln\left(4x+3\right)\ +\ln\left(x\right)\ =\ 0\\
X^{2\ }-3X-4\ =\ 0.\ \\
En\ déduire\ les\ solutions\ de\ \\
e^{2x}-3e^x-4\ =0\\
\left(\ln\left(x\right)\right)^2-3\ln\left(x\right)-4=0\end{array}

Exercice 3
Déterminer les entiers naturels tels que

2^n \ge n^2

Exercice 4
Trouver le signe des expressions suivantes sur l’intervalle I indiqué

\begin{array}{l}e^{2x\ }-2e^x,\ I\ =\mathbb{R}\\ \\
\ln\left(4-x^2\right),\ I\ =\ ]-2;2[\\ \\
\ln\left(\frac{3+x}{3-x}\right),\ I\ =\ ]0;3[\end{array}

Exercice 5 (niveau prépa)
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (n,p) tels que

n^{p\ }=\ p^n\ et\ n\ \ne\ p

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