Le logarithme népérien : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur le logarithme : Définitions, propriétés, divers exemples et quelques exercices.
Logarithme népérien

Le logarithme népérien fait partie des fonctions dites usuelles à bien connaitre.

Définition

En tant que réciproque (terminale S)

Le logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, définie de \R_+^* dans \R, c’est à dire que :

\begin{array}{l}\forall  x \in  \mathbb{R}_+^* , \exp (\ln (x))= x\\
\forall x\in  \mathbb{R},\ln (\exp (x)) = x \end{array}

Cette fonction est notée ln.

\forall x \in \R_+^*, \ln : x \mapsto \ln x

En tant que primitive

Le logarithme népérien est la primitive définie sur les réels positifs de la fonction inverse telle que ln(1) = 0

\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}_+^*, \ln^{\prime}(x)\ =\dfrac{1}{x}\\
\ln\left(1\right) = 0\end{array}

Graphe

Voici le graphe de la fonction logarithme :

Logarithme

Calculatrice

Vous souhaitez calculer des valeurs particulières du logarithme ? Voici une calculatrice permettant de le faire

Propriétés

  • Le logarithme est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition.
  • ln(1) = 0
  • Le logarithme est une fonction dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est la fonction inverse :
\forall x \in \R_+^*, \ln'(x) = \frac{1}{x}

Limites

Voici les limites de la fonction logarithme en ses bornes :

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln\left(x\right) = -\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\ \infty\end{array}

Le logarithme a une croissance très lente, voici d’autres limite à retenir :

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left(x\right)}{x}=0\\ 
\displaystyle\forall n>0, \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left(x\right)}{x^n}=0\\ 
\displaystyle\lim_{x\to0} x\ln\left(x\right)= 0\\ 
\displaystyle\forall n >0,\lim_{x\to0}\ x^{n}\ln\left(x\right) = 0\\ 
\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln\left(1+x\right)}{x}= 1\end{array}

Propriétés de calcul

Tout comme l’exponentielle, le logarithme présente diverses propriétés bien pratiques :

\begin{array}{l}\forall a,b \in \mathbb R_+^* \\ 
\ln(ab)=\ln(a)+ \ln\left(b\right)\\ 
\ln\left(a^n\right) =n \ln\left(a\right)\\ 
\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln\left(a\right)\\ 
\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)\\ 
\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2} \ln a \end{array}

On a aussi la réciprocité avec l’exponentielle :

\begin{array}{l}\forall x \in  \mathbb{R}_+^* , \exp \left(\ln \left(x\right)\right)=x\\
\forall  x \in  \mathbb{R},\ln \left(\exp \left(x\right)\right) =x \\
\forall a \in \R_+^* \forall b \in \R, a^b = \exp(b \ln(a))
\end{array}

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Simplifier l’expression suivante :

\ln \left( \dfrac{1}{3} \right)+\ln \left( \dfrac{3}{5} \right) + \ln \left( \dfrac{5}{7} \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right)

Corrigé : On utilise la propriété \ln(a)+\ln(b) = \ln(a\times b) :

\begin{array}{ll}
&\ln \left( \dfrac{1}{3} \right)+\ln \left( \dfrac{3}{5} \right) + \ln \left( \dfrac{5}{7} \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right) \\
=& \ln \left( \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} \right)+ \ln \left( \dfrac{5}{7} \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right)\\
=& \ln \left( \dfrac{1}{5}  \right)+ \ln \left( \dfrac{5}{7} \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right)\\
=& \ln \left( \dfrac{1}{5} \times \dfrac{5}{7} \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right)\\
=& \ln \left( \dfrac{1}{7}  \right)+\ln \left( \dfrac{7}{9} \right)\\
=& \ln \left( \dfrac{1}{7} \times \dfrac{7}{9} \right)\\
=& \ln \left( \dfrac{1}{9} \right)
\end{array}

Exercice 2

Enoncé : Résoudre l’équation suivante :

\ln\left(3x+1\right)+\ln\left(4x+3\right)\ =\ \ln\left(x\right)\ 

Corrigé : Premier point : On s’assure de bien étudier la fonction là où elle est définie. Donc ce qui est à l’intérieur doit être positif. Ainsi, ces 3 conditions doivent être vérifiées :

\begin{array}{l}3x+1>0\ \Leftrightarrow 3x >-1 \Leftrightarrow\ x> -\dfrac{1}{3}\\ 
4x+3>0\ \Leftrightarrow 4x>-3 \Leftrightarrow  x> -\dfrac{3}{4}\\ 
x>0\end{array}

Pour que ces 3 conditions soient vérifiées, il suffit que x > 0.
Maintenant, place à la résolution :

\begin{array}{ll}&\ln \left(3x+1\right)+\ln \left(4x+3\right)= \ln \left(x\right)\\
\iff& \ln \left(\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)\right) = \ln \left(x\right)\\
\iff & \ln \left(12x^2+9x+4x+3\right) = \ln \left(x\right)\\
\iff&\ln \left(12x^2+13x+3\right)=\ln \left(x\right)\\
\iff& 12x^2+13x +3= x\\
\iff& 12x^2+12x+ 6 = 0\\
\iff & 2x^2+2x+1= 0\end{array}

On est ensuite ramenés à une équation du second degré :

\Delta\ =\ 2^{2\ }-2\ \times4\times1\ =\ -4\ <\ 0\ 

L’équation n’a donc pas de solution réelle.

Exercice 3

Enoncé : Trouver tous les entiers n tels que :

1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge\ 0.99

Voici la résolution de ce problème :

\begin{array}{ll}&1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\ge  0.99\\ 
\iff& 0.01-\left(\frac{4}{5}\right)^{n }\ge  0\\ 
\iff& 0.01 \ge \left(\frac{4}{5}\right)^n\\ 
\iff & \exp \left(n \ln \left(\frac{4}{5}\right)\right) \le \ 0.01\\ 
\iff &  n \ln \left(\frac{4}{5}\right) \le  \ln \left(0.01\right)\\
&\text{(On applique le logarithme qui est une fonction croissante)} \\
\iff & n \ge \frac{\ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\right)}\\
& \text{On change le sens de l'inégalité car } \ln \left(\frac{4}{5}\right)<0)\\ 
&\text{Or, } \dfrac{\ln \left(0.01\right)}{\ln \left(\frac{4}{5}\right)} \approx 20.63\\ 
&\text{Donc } n\ \ge \ 21\end{array}

Exercices

Exercice 1
On place un capital à 5% par an par intérêts composés, c’est à dire que chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ? Si vous voulez en savoir plus, allez voir notre article sur comment devenir riche.

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes :

\begin{array}{l}\ln\left(3x-2\right) + \ln\left(2x-1\right) = \ln\left(x\right)\\
\ln\left(4x+3\right)+\ln\left(x\right) =0\\
X^{2}-3X-4 =0.\\
\text{En déduire les solutions de } \\
e^{2x}-3e^x-4=0\\
\left(\ln\left(x\right)\right)^2-3\ln\left(x\right)-4=0\end{array}

Exercice 3
Déterminer les entiers naturels tels que

2^n \ge n^2

Exercice 4
Trouver le signe des expressions suivantes sur l’intervalle I indiqué

\begin{array}{ll}e^{2x}-2e^x& I =\mathbb{R}\\ 
\ln\left(4-x^2\right)& I = ]-2;2[\\ 
\ln\left(\dfrac{3+x}{3-x}\right)& I = ]0;3[\end{array}

Exercice 5 (niveau prépa)
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (n,p) tels que

n^{p\ }=\ p^n\ et\ n\ \ne\ p

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