Définition

Par une équation différentielle (niveau Terminale)

On définit l’exponentielle, notée exp, comme l’unique fonction dérivable telle que :

\begin{array}{l}
\forall x \in \mathbb R , f'(x) = f(x) \\
f(0) = 1
\end{array}

Par sa réciproque

Cliquez ici pour voir le cours sur le logarithme népérien

\begin{array}{l} La\ fonction\ exponentielle, \ de \ \mathbb R_+ dans\ \mathbb R \\\ est \ définie \ comme \ la \ fonction \ réciproque \\ \ du \ logarithme\ népérien \end{array}

Par une somme (niveau prépa)

La fonction exponentielle est définie par :

\forall x \in \mathbb R, \exp(x) = \sum_{n=0} ^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!}

Graphe de l’exponentielle

Voici le graphe de l’exponentielle

Graphe de l’exponentielle

Propriétés

La fonction exponentielle est une fonction croissante
Elle est dérivable sur R et égale à sa dérivée, elle est même infiniment dérivable.

\forall x \in \mathbb R, f'(x) = f(x)

C’est une fonction positive :

\forall x \in \mathbb R, f(x) > 0

exp(1) est noté e. Voici une approximation de sa valeur. C’est une des calculatrices en ligne que j’ai utilisées ici pour avoir une bonne approximation de sa valeur.

e \approx 2.71828182846

Limites

\begin{array}{l}\lim_{x\to+\ \infty}e^{x\ }=\ +\ \infty\\ \\
\lim_{x\to-\infty}e^x\ =\ 0\end{array}

L’exponentielle l’emporte sur la plupart des fonction, voici diverses limites à retenir :

\begin{array}{l}\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x}{x}\ =\ +\ \infty\\ \\ 
\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x}{x^n}=\ +\ \infty\\ \\
\lim_{x\to-\infty}\ xe^x\ =\ 0 \\  \\
\lim_{x\to-\infty}x^ne^x\ =\ 0 \\ \\
\lim_{x\to0}\ \frac{e^x-1}{x}=\ 1\end{array}

Propriétés de calcul

\begin{array}{l}e^{x+y}=e^xe^{\text{y}}\\ \\
e^{nx}=\left(e^x\right)^n\\ \\
\frac{1}{e^x}=e^{-x}\\ \\
e^{x-y} =\frac{e^x}{e^y}
\end{array}

On a aussi la réciprocité avec le logarithme :

\begin{array}{l}\forall \ x\ \in \ \mathbb{R}_+^* ,\ \exp \left(\ln \left(x\right)\right)=\ x\\
\forall \ x\ \in \ \mathbb{R},\ \ln \left(\exp \left(x\right)\right)\ =\ x\end{array}

Exemples

Premier exemple

Etudions la fonction suivante :

x \mapsto x e^{x}

Cette fonction est bien dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables. On va la dériver comme un produit

\begin{array}{l}u\left(x\right)\ =\ x\\
v\left(x\right)\ =\ e^x\end{array}\begin{array}{l}u^{\prime}\left(x\right)\ =\ 1\\
v^{\prime}\left(x\right)\ =\ e^x
\end{array}\\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 1e^{x\ }+\ xe^{x\ }\ =\ \left(x+1\right)e^x\\

Etudions aussi le signe de sa dérivée :

\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 0\ \Leftrightarrow \ \left(x+1\right)e^x\ =\ 0\ \Leftrightarrow \ x\ =\ -1\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ >\ 0\ \Leftrightarrow \ \left(x+1\right)\ e^{x\ }>0\ \ \Leftrightarrow \ \left(x+1\right)\ >0\ \ \Leftrightarrow \ x\ >\ -1\end{array}

f est donc décroissante sur ] – ∞, -1[ et croissante sur ]-1, + ∞[

Etudions ses limites :

\displaystyle \begin{array}{l}\lim _{x\to +\infty }\ xe^{x\ }=\ +\ \infty \ \times +\ \infty \ =\ +\infty \\
En\ -\infty ,\ on\ utilise\ la\ propriété\ des\ limites\ vue\ au-dessus\ :\ \\
\lim _{x\to -\infty }xe^x\ =\ 0\end{array}

Finalement, voici à quoi elle ressemble :

Fonction x exp(x)

Second exemple

Simplifier la fraction suivante :

\frac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}

On va utiliser diverses propriétés de l’exponentielle et des fractions :

\begin{array}{l}\frac{e^{4x}+e^{2x}}{e^{3x}+e^x}\\ \\
=\ \frac{e^{2x}\times e^{2x}+e^{2x}}{e^{2x}\times e^x+e^x}\ \left(On\ décompose\right)\\ \\
=\ \frac{e^{2x}\left(e^{2x}+1\right)}{e^x\left(e^{2x}+1\right)}\ \left(On\ factorise\right)\\ \\
=\ \frac{e^{2x}}{e^x}\ \left(On\ simplifie\right)\\ \\
=\ \frac{e^x\times e^x}{e^x}\\ \\
=\ e^x\end{array}

Troisième exemple

Résoudre l’équation suivante :

e^x\ =\ \frac{-4}{e^x+4}

Plusieurs étapes de résolution. D’abord simplifions la fraction :

\begin{array}{l}e^x\ =\ \frac{-4}{e^x+4}\\
\Leftrightarrow\ e^x\left(e^x+4\right)\ =\ -4\\
\Leftrightarrow\ \left(e^x\right)^2+4e^x\ =-4\\
\Leftrightarrow\ \left(e^x\right)^2+4e^x\ +4\ =\ 0\end{array}

On va ensuite poser y = ex. Ce qui fait que maintenant l’équation du second degré suivante (si vous avez un trou de mémoire sur l’équation du second degré, regardez cet article) :

\begin{array}{l}y^{2\ }+4y\ +\ 4\ =\ 0\end{array}

Ensuite, on résoud cette équation en reconnaissant une identité remarquable :

\begin{array}{l}y^2+4y\ +4\ =\ 0\ \\
\Leftrightarrow \ \left(y+2\right)^{2\ }=0\\
\Leftrightarrow \ y\ =\ -2\ \end{array}

On obtient donc que ex = 2. On en déduit alors que x = ln(2)

Exercices

Exercice 1 :
Commençons par des calculs de limites. Calculer les limites suivantes :

\begin{array}{l}\lim_{x\to+\infty}\ \frac{e^x-8}{e^{2x}-x}\\ \\
\lim_{x\to+\infty}x^{0.00001}e^x\\ \\
\lim_{x\to-\infty}x^{1000000}e^x\\ \\
\lim_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}\\ \\
\lim_{x\to-\infty}e^{x^2-3x+12}\end{array}

Exercice 2 :
En justifiant, associer à chaque fonction sa courbe.
Voici la liste des fonctions :

\begin{array}{l}f\left(x\right)\ =\ \frac{e^x-1}{2}\\\ \\
g\left(x\right)\ =\ \frac{e^x-1}{e^x+1}\\\ \\
h\left(x\right)\ =\ 1-e^{-x}\\\ \\
i\left(x\right)\ =\ \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \\
j\left(x\right)\ =\ \frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{array}

Et voici maintenant les courbes :

Exercices exponentiel

Exercice 3 :

\begin{array}{l}On\ considère\ la\ suite\ définie\ par\ u_n\ =\ e^{4-\frac{n}{3}}\\
Pour\ tout\ entier\ n\ naturel\ n,\ on\ pose\ S_n=\ u_0\ +\ u_1+\ ...\ +\ u_n\\
On\ pose\ aussi\ P_{n\ }=\ u_0\times u_1\times...\ \times u_n\\
1)\ Démontrer\ que\ la\ suite\ \left(u_n\right)\ est\ géométrique\ et\ donner\ sa\ raison\ \\
2)\ Exprimer\ la\ somme\ S_n\ en\ fonction\ de\ n\\
3)\ Déterminer\ la\ limite\ de\ S_{n\ }lorsque\ n\ tend\ vers\ +\infty\\
4)\ Exprimer\ le\ produit\ P_n\ en\ fonction\ de\ n\ \\
5)\ Déterminer\ la\ limite\ de\ P_n\ lorsque\ n\ tend\ vers\ +\ \infty\end{array}

Exercice 4
Résoudre les inéquation suivantes :

\begin{array}{l}\frac{e^x+3}{e^x+1}\ge\ 2\\\\
8e^{2x}<\ 5\ e^{x\ }+3\\ \\
e^{4x+3\ }<\ e^{2x\ +7}\\ \\
\frac{3e^x-5}{e^x-12}<\frac{3}{2}\end{array}

Exercice 5 :
On donne la courbe de cette fonction :

Polynome exponentiel
Fonction inconnue à déterminer

On sait que f(0) = -4, f(1) = 0 et f'(0) = -1.
1) Déterminer a, b et c tels que f(x) = (ax2+bx+c)ex
2) Tracer la tableau de variation de la fonction ainsi obtenue

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