Noyau et image dans un espace vectoriel : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce que sont le noyau et l’image pour des applications linéaires ?
Noyau image

Lorsqu’on se parle d’espaces vectoriels, le noyau et l’image sont deux notions essentielles qui ne devraient avoir aucun secret. Présentation de ces notions et exercices corrigés constitueront cet article

Prérequis

    Définition

    Soit \mathbb{K} un corps. Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels. De plus, soit f : E \to F une application linéaire. On appelle :

    • Image de f l’ensemble \{ f(x), x \in E \}
    • Noyau, noté \ker (pour kernel en anglais ou kern en allemand) l’ensemble des éléments de l’espace de départ dont l’image est 0 : \ker (f) = \{ x \in E, f(x) = 0 \}

    Propriétés

    Voici quelques propriétés essentielles concernant l’image et le noyau :

    • Le noyau est un sous-espace vectoriel de E
    • L’image est un sous-espace vectoriel de F
    • \ker (f) = \{ 0 \} \iff f est injective. En effet, si f est injective, on a f(x) = f(y) \Rightarrow x=y . Et donc, f(x)- f(y) = 0 \iff f(x-y) = 0 , ce qui nous donne, en posant z = x-y, f(z) =0 \Rightarrow z = 0 . La réciproque fait appel aux mêmes arguments.

    Donc pour trouver si une application linéaire est injective, il suffit de résoudre l’équation f(x) = 0 , c’est une condition suffisante.

    Exercices corrigés

    Exercice 577

    Enoncé :

    Etude de noyaux et d'images espaces vectoriels

      Corrigé : Question 1.a : Soit x \in Ker f . On a f(x) = 0 . On a donc f^2(x) = f(f(x)) = f(0) = 0 . Donc x \in \ker(f^2) . Ainsi, \ker(f) \subset \ker(f^2)

      Question 1.b : Soit y \in Im(f^2) . On sait donc qu’il existe x \in E, y = f^2(x) = f(f(x)) . On a alors, en posant z= f(x), y = f(z) . Donc y \in Im(f) . D’où Im(f^2) \subset Im(f)

      Question 2 : On va raisonner par double implication.

      Sens direct : On va raisonner par contraposée. On va donc montrer \ker(f) \cap Im(f) \neq \{0\} \Rightarrow \ker (f) \neq \ker (f^2) . Soit x \neq 0 \in \ker(f) \cap Im(f). \exists z \in E, x = f(z) . De plus, 0 = f(x) = f(f(z)) . Donc z \in \ker(f^2), z \notin \ker(f). Ainsi, \ker (f) = \ker(f^2)

      Sens retour : Soit x \in \ker(f) \cap Im(f) . On a f(x) = 0 . Or, \exists z \in E, x = f(y), on a f^2(y) = 0 . Mais comme \ker(f^2) = \ker(f), on obtient f(y) = 0 . Et donc x = f(y) = 0 . D’où \ker(f) \cap Im(f) = \{ 0\}

      Exercice 1213

      Enoncé :

      Noyau à déterminer

      Corrigé : On va donc résoudre f(x,y) = 0 . On a alors :

      \begin{array}{ll}
      &f(x,y) = 0 \\
      \iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x-y &= 0 \\ x-y &= 0\end{array} \right.\\
      \iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x-y &= 0 \end{array} \right.\\
      \iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x &= y \end{array} \right.\\
      \iff & \left\{\begin{array}{ll}2y&= 0\\x &= y \end{array} \right.\\
      \iff & \left\{\begin{array}{ll}y&= 0\\x &= 0 \end{array} \right.\\
      \end{array}

      On peut donc conclure : \ker (f) = \{ (0,0)\}

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