Noyau et image dans un espace vectoriel : Cours et exercices corrigés

Lorsqu’on se parle d’espaces vectoriels, le noyau et l’image sont deux notions essentielles qui ne devraient avoir aucun secret. Présentation de ces notions et exercices corrigés constitueront cet article

Prérequis

• Image et antécédent
• Injection, surjection et bijection
• Application linéaire

Définition

Soit \mathbb{K} un corps. Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels. De plus, soit f : E \to F une application linéaire. On appelle :

• Image de f l’ensemble \{ f(x), x \in E \}
• Noyau, noté \ker (pour kernel en anglais ou kern en allemand) l’ensemble des éléments de l’espace de départ dont l’image est 0 : \ker (f) = \{ x \in E, f(x) = 0 \}

Propriétés

Voici quelques propriétés essentielles concernant l’image et le noyau :

• Le noyau est un sous-espace vectoriel de E
• L’image est un sous-espace vectoriel de F
• \ker (f) = \{ 0 \} \iff f est injective. En effet, si f est injective, on a f(x) = f(y) \Rightarrow x=y . Et donc, f(x)- f(y) = 0 \iff f(x-y) = 0 , ce qui nous donne, en posant z = x-y, f(z) =0 \Rightarrow z = 0 . La réciproque fait appel aux mêmes arguments.

Donc pour trouver si une application linéaire est injective, il suffit de résoudre l’équation f(x) = 0 , c’est une condition suffisante.

Exercices corrigés

Exercice 577

Enoncé :

Corrigé : Question 1.a : Soit x \in Ker f . On a f(x) = 0 . On a donc f^2(x) = f(f(x)) = f(0) = 0 . Donc x \in \ker(f^2) . Ainsi, \ker(f) \subset \ker(f^2)

Question 1.b : Soit y \in Im(f^2) . On sait donc qu’il existe x \in E, y = f^2(x) = f(f(x)) . On a alors, en posant z= f(x), y = f(z) . Donc y \in Im(f) . D’où Im(f^2) \subset Im(f)

Question 2 : On va raisonner par double implication.

Sens direct : On va raisonner par contraposée. On va donc montrer \ker(f) \cap Im(f) \neq \{0\} \Rightarrow \ker (f) \neq \ker (f^2) . Soit x \neq 0 \in \ker(f) \cap Im(f). \exists z \in E, x = f(z) . De plus, 0 = f(x) = f(f(z)) . Donc z \in \ker(f^2), z \notin \ker(f). Ainsi, \ker (f) = \ker(f^2)

Sens retour : Soit x \in \ker(f) \cap Im(f) . On a f(x) = 0 . Or, \exists z \in E, x = f(y), on a f^2(y) = 0 . Mais comme \ker(f^2) = \ker(f), on obtient f(y) = 0 . Et donc x = f(y) = 0 . D’où \ker(f) \cap Im(f) = \{ 0\}

Exercice 1213

Enoncé :

Corrigé : On va donc résoudre f(x,y) = 0 . On a alors :

\begin{array}{ll}
&f(x,y) = 0 \\
\iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x-y &= 0 \\ x-y &= 0\end{array} \right.\\
\iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x-y &= 0 \end{array} \right.\\
\iff & \left\{\begin{array}{ll}x+y &= 0\\x &= y \end{array} \right.\\
\iff & \left\{\begin{array}{ll}2y&= 0\\x &= y \end{array} \right.\\
\iff & \left\{\begin{array}{ll}y&= 0\\x &= 0 \end{array} \right.\\
\end{array}

On peut donc conclure : \ker (f) = \{ (0,0)\}