Au sommaire de cet article
Cet article a pour but de présenter les formules des équivalents, usuels comme atypiques. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire
Les équivalents issus de l’exponentielle
Commençons par les fonctions issues de l’exponentielle : exponentielle, cosinus, sinus et cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Tous ces équivalents sont énoncés en 0.
\begin{array}{rcl} e^x & \sim & 1\\ \cos(x) & \sim &1 \\ \text{ch}(x) & \sim & 1\\ \sin(x) & \sim & x\\ \text{sh}(x) & \sim & x\\ e^x -1 & \sim & \dfrac{x^2}{2} \\ 1-\cos(x) & \sim & \dfrac{x^2}{2} \\ \text{ch}(x) - 1 & \sim & \dfrac{x^2}{2} \end{array}
Les puissances de 1 + x ou 1 – x
Voici les équivalents en 0 des fonctions qui sont une puissance de 1+x ou 1-x, telles que la racine ou l’inverse.
\begin{array}{rcl} \forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} & \sim &1\\ \forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} - 1 & \sim &\alpha x\\ \sqrt{1+x} & \sim &1\\ \sqrt{1+x} - 1 & \sim &\dfrac{x}{2} \end{array}
Equivalent du logarithme
Voici la formule pour l’équivalent du logarithme.
\begin{array}{rcl} \ln (1-x) &\sim & -x \\ \ln (1+x) &\sim &x \end{array}
Equivalents de tan et tanh
Ici, l’équivalent en 0 est simple :
\begin{array}{rcl} \tan (x) &\sim & x \\ \text{th}(x) &\sim &x \end{array}
Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth
Voici les équivalents des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th. Ces équivalents sont explicités en 0
\begin{array}{rcl} \arccos x & \sim & \displaystyle \dfrac{\pi}{2}\\ \dfrac{\pi}{2}-\arccos x& \sim&x \\ \arcsin x &\sim & x\\ \arctan x & \sim & x\\ \text{argth } x &\sim &x \end{array}
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