Les équivalents usuels

Cet article a pour but de présenter les formules des équivalents, usuels comme atypiques. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire

Vous pourriez aussi être intéressés par les développements limités. D’ailleurs plutôt que d’apprendre les équivalent, je vous conseille de plutôt apprendre les développements limités. Les équivalents sont ensuite un développement limité dont on ne garde qu’un seul terme.

Les équivalents issus de l’exponentielle

Commençons par les fonctions issues de l’exponentielle : exponentielle, cosinus, sinus et cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Tous ces équivalents sont énoncés en 0.

 \begin{array}{rcl}
e^x & \sim & 1\\
\cos(x) & \sim &1 \\
\text{ch}(x) & \sim & 1\\
\sin(x) & \sim & x\\
\text{sh}(x) & \sim  & x\\
e^x -1 & \sim & x \\
1-\cos(x)  & \sim & \dfrac{x^2}{2} \\
\text{ch}(x) - 1 & \sim & \dfrac{x^2}{2}
  \end{array}

Les puissances de 1 + x ou 1 – x

Voici les équivalents en 0 des fonctions qui sont une puissance de 1+x ou 1-x, telles que la racine ou l’inverse.

\begin{array}{rcl}
\forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} & \sim &1\\
\forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} - 1 & \sim &\alpha x\\
\sqrt{1+x} & \sim &1\\
\sqrt{1+x} - 1 & \sim &\dfrac{x}{2}

\end{array}

Equivalent du logarithme

Voici la formule pour l’équivalent du logarithme.

\begin{array}{rcl}
 \ln (1-x) &\sim & -x \\
\ln (1+x) &\sim  &x
\end{array}

Equivalents de tan et tanh

Ici, l’équivalent en 0 est simple :

\begin{array}{rcl}
 \tan (x) &\sim & x \\
\text{th}(x) &\sim  &x
\end{array}

Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth

Voici les équivalents des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th. Ces équivalents sont explicités en 0

\begin{array}{rcl}
\arccos x & \sim & \displaystyle \dfrac{\pi}{2}\\
 \dfrac{\pi}{2}-\arccos x& \sim&x \\
\arcsin x &\sim & x\\
\arctan x & \sim & x\\
\text{argth } x &\sim &x
\end{array}

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