Les équivalents usuels

Cet article a pour but de présenter les formules des équivalents, usuels comme atypiques. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire

Les équivalents issus de l’exponentielle

Commençons par les fonctions issues de l’exponentielle : exponentielle, cosinus, sinus et cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique. Tous ces équivalents sont énoncés en 0.

 \begin{array}{rcl}
e^x & \sim & 1\\
\cos(x) & \sim &1 \\
\text{ch}(x) & \sim & 1\\
\sin(x) & \sim & x\\
\text{sh}(x) & \sim  & x\\
e^x -1 & \sim & \dfrac{x^2}{2} \\
1-\cos(x)  & \sim & \dfrac{x^2}{2} \\
\text{ch}(x) - 1 & \sim & \dfrac{x^2}{2}
  \end{array}

Les puissances de 1 + x ou 1 – x

Voici les équivalents en 0 des fonctions qui sont une puissance de 1+x ou 1-x, telles que la racine ou l’inverse.

\begin{array}{rcl}
\forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} & \sim &1\\
\forall \alpha \in \mathbb{R},(1+x)^{\alpha} - 1 & \sim &\alpha x\\
\sqrt{1+x} & \sim &1\\
\sqrt{1+x} - 1 & \sim &\dfrac{x}{2}

\end{array}

Equivalent du logarithme

Voici la formule pour l’équivalent du logarithme.

\begin{array}{rcl}
 \ln (1-x) &\sim & -x \\
\ln (1+x) &\sim  &x
\end{array}

Equivalents de tan et tanh

Ici, l’équivalent en 0 est simple :

\begin{array}{rcl}
 \tan (x) &\sim & x \\
\text{th}(x) &\sim  &x
\end{array}

Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth

Voici les équivalents des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th. Ces équivalents sont explicités en 0

\begin{array}{rcl}
\arccos x & \sim & \displaystyle \dfrac{\pi}{2}\\
 \dfrac{\pi}{2}-\arccos x& \sim&x \\
\arcsin x &\sim & x\\
\arctan x & \sim & x\\
\text{argth } x &\sim &x
\end{array}

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