La somme des angles d’un triangle vaut toujours 180° (en géométrie euclidienne, celle qu’on utilise au collège et au lycée). C’est l’une des propriétés les plus fondamentales de la géométrie. On l’utilise constamment pour calculer un angle manquant, et elle intervient dans de nombreuses démonstrations. Dans cet article, on démontre cette propriété à l’aide des angles alternes-internes, puis on l’étend aux quadrilatères et aux polygones quelconques. On termine avec des exercices corrigés.
La propriété
Dans tout triangle ABC, la somme des trois angles est égale à 180° :
\boxed{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°}Autrement dit, si on connaît deux des trois angles, on peut toujours calculer le troisième. Par exemple, si \widehat{A} = 50° et \widehat{B} = 70°, alors :
\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = 60°Cette propriété est vraie pour tous les types de triangles : triangle équilatéral (trois angles de 60°), triangle isocèle, triangle scalène ou triangle rectangle (un angle de 90°, donc les deux autres totalisent 90°).
Démonstration
On considère un triangle ABC. On trace la droite (d) passant par A et parallèle à (BC).
On note \alpha = \widehat{BAC}, \beta = \widehat{ABC} et \gamma = \widehat{BCA} les trois angles du triangle.
Les droites (d) et (BC) sont parallèles, et la droite (AB) est une sécante. Les angles \beta (en B) et l’angle entre (d) et (BA) à gauche de A sont des angles alternes-internes : ils sont donc égaux. Notons \beta' cet angle.
De même, (AC) est une sécante aux parallèles (d) et (BC). Les angles \gamma (en C) et l’angle entre (d) et (CA) à droite de A sont alternes-internes : ils sont donc égaux. Notons \gamma' cet angle.
Or les trois angles \beta', \alpha et \gamma' forment ensemble un angle plat au point A (ils sont alignés sur la droite (d)). Donc :
\beta' + \alpha + \gamma' = 180°
Comme \beta' = \beta et \gamma' = \gamma, on obtient :
\boxed{\alpha + \beta + \gamma = 180°}C’est bien ce qu’on voulait démontrer.
Remarque
Cette démonstration repose sur le fait que par un point extérieur à une droite, il passe exactement une droite parallèle. C’est le cinquième postulat d’Euclide (aussi appelé axiome des parallèles). Si on change cet axiome, la somme des angles change : c’est ce qu’on verra plus bas.
Somme des angles d’un quadrilatère
On peut étendre le résultat aux quadrilatères. Considérons un quadrilatère ABCD quelconque. On trace la diagonale [AC] : elle découpe le quadrilatère en deux triangles, ABC et ACD.
La somme des angles du triangle ABC vaut 180°, et celle du triangle ACD vaut aussi 180°. Or les six angles de ces deux triangles reconstituent exactement les quatre angles du quadrilatère. Donc :
\boxed{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°}La somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°, quel que soit le quadrilatère (carré, rectangle, trapèze, parallélogramme, losange…).
Somme des angles d’un polygone
On peut généraliser à un polygone quelconque à n côtés. En traçant toutes les diagonales issues d’un même sommet, on découpe le polygone en (n - 2) triangles. La somme des angles de chaque triangle vaut 180°, donc :
\boxed{S_n = (n - 2) \times 180°}Vérifions sur les cas connus :
- Triangle (n = 3) : S_3 = (3 - 2) \times 180° = 180°
- Quadrilatère (n = 4) : S_4 = (4 - 2) \times 180° = 360°
- Pentagone (n = 5) : S_5 = (5 - 2) \times 180° = 540°
- Hexagone (n = 6) : S_6 = (6 - 2) \times 180° = 720°
Et en géométrie non euclidienne ?
La propriété \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° n’est vraie qu’en géométrie euclidienne, celle qu’on utilise sur un plan. Si on change de géométrie, la somme change.
Géométrie sphérique
Sur une sphère (la surface de la Terre, par exemple), la somme des angles d’un triangle est strictement supérieure à 180°. On peut même construire un triangle dont les trois angles valent 90°, ce qui donne une somme de 270° : il suffit de prendre un pôle et deux points sur l’équateur séparés d’un quart de tour.
Géométrie hyperbolique
À l’inverse, en géométrie hyperbolique (sur une surface en forme de selle de cheval), la somme des angles d’un triangle est strictement inférieure à 180°.
Ces résultats ne sont pas que théoriques : en relativité générale, l’espace-temps est courbé par la masse, et la géométrie réelle de l’univers n’est pas exactement euclidienne. Mais à notre échelle, la différence est imperceptible, et la formule \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° fonctionne parfaitement.
Exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver un angle manquant
Dans un triangle ABC, on a \widehat{A} = 42° et \widehat{B} = 73°. Calculer \widehat{C}.
Corrigé :
La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :
\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B} = 180° - 42° - 73° = 65°L’angle \widehat{C} mesure 65°.
Exercice 2 : Triangle isocèle
Un triangle isocèle ABC a son angle au sommet principal \widehat{A} = 36°. Calculer les angles à la base \widehat{B} et \widehat{C}.
Corrigé :
Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux : \widehat{B} = \widehat{C}. On utilise la somme des angles :
\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°36° + 2\widehat{B} = 180°\widehat{B} = \frac{180° - 36°}{2} = \frac{144°}{2} = 72°Les angles à la base mesurent chacun 72°. (On remarque au passage que ce triangle est le « triangle d’or », lié au nombre d’or.)
Exercice 3 : Angle d’un polygone régulier
Calculer la mesure de chaque angle intérieur d’un octogone régulier (polygone régulier à 8 côtés).
Corrigé :
La somme des angles d’un polygone à n côtés vaut (n - 2) \times 180°. Pour un octogone (n = 8) :
S_8 = (8 - 2) \times 180° = 6 \times 180° = 1080°
L’octogone étant régulier, ses 8 angles sont tous égaux. Chaque angle mesure donc :
\frac{1080°}{8} = 135°Chaque angle intérieur de l’octogone régulier mesure 135°. C’est d’ailleurs la forme du panneau STOP !
Cet article vous a plu ? N’hésitez pas à aller voir notre article sur le théorème de Pythagore ou celui sur la formule de Héron.
FAQ
En traçant une droite parallèle à un côté passant par le sommet opposé, on utilise la propriété des angles alternes-internes pour montrer que les trois angles du triangle forment un angle plat (180°). Cette démonstration repose sur le cinquième postulat d’Euclide.
Oui, en géométrie euclidienne (celle du plan), la somme des angles vaut toujours 180°, que le triangle soit équilatéral, isocèle, scalène ou rectangle. En revanche, sur une sphère ou en géométrie hyperbolique, la somme est différente de 180°.
La somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°. On le démontre en découpant le quadrilatère en deux triangles par une diagonale : 2 × 180° = 360°.
La somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est (n − 2) × 180°. Par exemple, un pentagone (n = 5) a une somme de 540°, et un hexagone (n = 6) a une somme de 720°.
