Cet article a pour but de démontrer pourquoi la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°. La démonstration proposée ici a pour but d’être simple et accessible au niveau collège. La notion la plus compliquée ici est l’utilisation des angles alterne-interne.
La démonstration
Commençons par utiliser cette figure, qui finalement se suffit à la démonstration :
Passons aux explications :
Les 3 angles du haut de la figure a, b et c forment un angle dit “plat”. C’est à dire que la somme des angles a, b et c fait 180° : a + b + c = 180°.
De plus, on remarque que l’angle a en haut à gauche est le même que l’angle d en bas à gauche. Démontrons cela : Les deux droites horizontales sont parallèles entre elles. Et donc les angles a et d sont alterne-interne. On peut donc en déduire la relation suivante : a = d
On fait ensuite le même raisonnement avec c et e : l’angle a en haut à droite est le même que l’angle e en bas à droite. En effet, comme les deux droites horizontales sont parallèles entre elles, les angles c et e sont alterne-interne. On peut donc en déduire la relation suivante : c = e.
On en déduit alors la propriété connue : b + d + e = b + a + c = 180°. Cela se traduit en français par la propriété connue : Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°
Parfois, la somme des angles d’un triangle ne vaut pas 180°
Rétropédalons un peu. Pour faire ces calculs, nous avons fait une hypothèse assez forte : il faut pour cela être en géométrie euclidienne. En géométrie sphérique par exemple, la somme des angles est supérieure à 180°, comme sur cette image :
A contrario, en géométrie hyperbolique, la somme des angles est cette fois inférieure à 180°.
Donc oui, la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°… en géométrie euclidienne.
Pour aller plus loin : Somme des angles d’un quadrilatère
Est-ce qu’on a une propriété similaire dans un quadrilatère ? La réponse est oui ! Combien vaut la somme des angles dans un quadrilatère ?
Démontrons l’affirmation suivante : Dans un quadrilatère, la somme des angles vaut 360°. Voici le dessin de la preuve : On découpe ce quadrilatère en 2 triangles.
On a d’une part : a + b + c = 180°
D’autre part : d + e + f = 180°
De plus, le premier angle du quadrilatère est a, le second est b + e, le troisième est f et le quatrième est c + d.
Donc la somme des angles de ce quadrilatère est a + b + e + f + c + d = a + b + c + d + e + f = 180+180 = 360°. Et voilà, on a prouvé que la somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°.
Pour aller encore plus loin : Somme des angles d’un polygone
Il y a-t-il une formule générale pour un polygone, c’est à dire une figure quelconque à n cotés ? Proposez vos réponses dans les commentaires.
Cet article vous a plu ? N’hésitez pas à aller voir notre article sur le théorème de Pythagore ou celui sur la formule de Héron.
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