Un axiome est une proposition qui est considérée comme vraie et qui est utilisée comme point de départ pour les raisonnements et les démonstrations. Les axiomes sont généralement simple et peuvent être exprimés sous forme de propositions élémentaires.
Définition d’un axiome
Les axiomes sont utilisés en mathématiques, en logique et dans d’autres domaines de la pensée rationnelle. En mathématiques, les axiomes sont des propositions qui sont acceptées comme vraies sans démonstration. Les axiomes de la géométrie, par exemple, sont des propositions qui décrivent les propriétés de base d’un espace géométrique. En logique, les axiomes sont des propositions qui sont acceptées comme vraies sans démonstration. Les axiomes de la logique sont généralement exprimés sous forme de symboles logiques.
Un axiome n’est pas une conjecture !
Les axiomes en mathématiques
Il y a un certain nombre d’axiomes différents utilisés en mathématiques. Certains d’entre eux bien connus sont :
- L’axiome du choix: il existe une fonction qui associe à chaque ensemble non vide un élément de cet ensemble.
- L’axiome de parité: tout entier est soit pair soit impair.
- L’axiome d’extension ou axiome de Zermelo-Fraenkel : pour tout ensemble A, la relation d’inclusion est une relation d’ordre. Il énonce essentiellement qu’il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux.
- L’axiome de comparaison: si A et B sont deux ensembles finis non vides et a ∈ A, b ∈ B, alors A < B si et seulement si | A | < | B |. Et donc il existe une injection de A dans B.
Si vous voulez en savoir beaucoup plus, allez voir la vidéo du Professeur Karré qui détaille notamment de nombreux éléments de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel :
Les axiomes dans la pensée rationnelle
Dans les domaines de la pensée rationnelle, les axiomes sont des principes fondamentaux qui ne peuvent être démontrés. Les axiomes sont généralement acceptés comme vrais par la majorité des gens. Les axiomes de la morale sont des principes fondamentaux qui décrivent ce qui est bien ou mal. Quand à ceux de la religion, ils sont des principes fondamentaux qui décrivent ce qui est sacré ou profane.
Les axiomes en géométrie euclidienne
Les 5 postulats d’Euclide sont les axiomes de la géométrie euclidienne :
- Il existe des points.
- Il existe des droites.
- Les droites parallèles se rencontrent uniquement au point infini.
- Les angles droits ont une mesure de 90°.
- Les mesures des angles opposés d’un même triangle sont égales.
