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La trace d’une matrice : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter la trace d’une matrice à travers sa définition, des exemples et des exercices corrigés. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur ce qu’est une matrice carrée.

Définition

Soit A une matrice carrée de taille n définie par ses coefficients (aij). La trace de A, notée Tr(A) est la somme des coefficients diagonaux de cette matrice. A l’aide d’une somme, elle s’écrit donc :

Tr(A) = \sum_{k=1}^n a_{ii}

C’est donc une application de

M_n(\mathbb{K}) \mapsto \mathbb{K}

où K est un corps.

Exemple

Prenons la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
 \end{pmatrix}

La trace de A est alors

1 + 5 + 9 = 15

Propriétés

A l’aide d’un exercice corrigé dont voici l’énoncé, nous allons montrer les propriétés les plus importantes des traces de matrice :

Exercice trace matrice

Nous allons faire ces démonstrations sur le corps des réels mais elles sont plus généralement valables dans un corps K.

Commençons donc par montrer la linéarité de la trace. Soit λ un réel et A une matrice carrée de taille n.

\begin{array}{ll}
Tr(\lambda A) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda a)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}\\
&=\displaystyle \lambda \sum_{i=1}^n a_{ii}\\
& =\lambda Tr(A) 
\end{array}

Soit B une matrice carrée de taille n, on a :

\begin{array}{ll}
Tr(A+B) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (a+b)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n a_{ii}+b_{ii}\\
&=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}+ \sum_{k=1}^n b_{ii}\\
& =Tr(A) +Tr(B)
\end{array}

Ce qui nous montre bien la linéarité de la fonction trace. C’est donc une forme linéaire !

Montrons qu’on peut commuter deux termes :

\begin{array}{ll}
Tr(AB) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (ab)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ji}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n (ba)_{ji}\\
& =Tr(BA)
\end{array}

Conséquence : La trace est un invariant de similitude. Si

B = PAP^{-1}

Alors on a :

\begin{array}{ll}
Tr(B) &= Tr(PAP^{-1})\\
&= Tr(P(AP^{-1}))\\
&= Tr((AP^{-1})P)\\
&= Tr(A(P^{-1}P))\\
& = Tr(A) 
\end{array}

Pour la dernière propriété, qui est n’est pas aussi classique que les précédentes. Si une telle matrice de taille n existait, on aurait :

Tr(AB-BA) = Tr(I_n) 

Or,

Tr(AB-BA) = Tr(AB) - Tr(BA) 

Et

Tr(AB) = Tr(BA) 

Donc

0 = Tr(I_n) = n

Ce qui nous permet d’aboutir à une contradiction !

A noter en plus : La trace est invariante par la transposée :

Tr({}^t A) =Tr(A)

Exercice corrigé

Propriété trace

Pour faire cet exercice, on va utiliser une formule établie plus haut :

Tr(AM) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji}

On a donc :

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}m_{ji}

Grâce à la matrice M = El,k matrice élémentaire, on obtient directement

a_{kl} = b_{kl}

car mlk est le seul terme non nul de la somme et vaut 1. On a donc, en faisant varier k et l :

\forall k,l \in \{1, \ldots, n \},a_{kl} = b_{kl}

D’où A = B

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