Cet article a pour but de présenter la trace d’une matrice à travers sa définition, des exemples et des exercices corrigés. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur ce qu’est une matrice carrée.
Définition
Soit A une matrice carrée de taille n définie par ses coefficients (aij). La trace de A, notée Tr(A) est la somme des coefficients diagonaux de cette matrice. A l’aide d’une somme, elle s’écrit donc :
Tr(A) = \sum_{k=1}^n a_{ii}
C’est donc une application de
M_n(\mathbb{K}) \mapsto \mathbb{K}
où K est un corps.
Exemple
Prenons la matrice suivante :
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
La trace de A est alors
1 + 5 + 9 = 15
Propriétés
A l’aide d’un exercice corrigé dont voici l’énoncé, nous allons montrer les propriétés les plus importantes des traces de matrice :

Nous allons faire ces démonstrations sur le corps des réels mais elles sont plus généralement valables dans un corps K.
Commençons donc par montrer la linéarité de la trace. Soit λ un réel et A une matrice carrée de taille n.
\begin{array}{ll} Tr(\lambda A) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda a)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}\\ &=\displaystyle \lambda \sum_{i=1}^n a_{ii}\\ & =\lambda Tr(A) \end{array}
Soit B une matrice carrée de taille n, on a :
\begin{array}{ll} Tr(A+B) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (a+b)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}+b_{ii}\\ &=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}+ \sum_{k=1}^n b_{ii}\\ & =Tr(A) +Tr(B) \end{array}
Ce qui nous montre bien la linéarité de la fonction trace. C’est donc une forme linéaire !
Montrons qu’on peut commuter deux termes :
\begin{array}{ll} Tr(AB) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (ab)_{ii}\\ & =\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}\\ & =\displaystyle \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ji}\\ & =\displaystyle \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}\\ & =\displaystyle \sum_{j=1}^n (ba)_{ji}\\ & =Tr(BA) \end{array}
Conséquence : La trace est un invariant de similitude. Si
B = PAP^{-1}
Alors on a :
\begin{array}{ll} Tr(B) &= Tr(PAP^{-1})\\ &= Tr(P(AP^{-1}))\\ &= Tr((AP^{-1})P)\\ &= Tr(A(P^{-1}P))\\ & = Tr(A) \end{array}
Pour la dernière propriété, qui est n’est pas aussi classique que les précédentes. Si une telle matrice de taille n existait, on aurait :
Tr(AB-BA) = Tr(I_n)
Or,
Tr(AB-BA) = Tr(AB) - Tr(BA)
Et
Tr(AB) = Tr(BA)
Donc
0 = Tr(I_n) = n
Ce qui nous permet d’aboutir à une contradiction !
A noter en plus : La trace est invariante par la transposée :
Tr({}^t A) =Tr(A)
Exercice corrigé

Pour faire cet exercice, on va utiliser une formule établie plus haut :
Tr(AM) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji}
On a donc :
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}m_{ji}
Grâce à la matrice M = El,k matrice élémentaire, on obtient directement
a_{kl} = b_{kl}
car mlk est le seul terme non nul de la somme et vaut 1. On a donc, en faisant varier k et l :
\forall k,l \in \{1, \ldots, n \},a_{kl} = b_{kl}
D’où A = B