La trace d’une matrice : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter la trace d’une matrice à travers sa définition, des exemples et des exercices corrigés. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur ce qu’est une matrice carrée.

Définition

Soit A une matrice carrée de taille n définie par ses coefficients (a_ij). La trace de A, notée Tr(A) est la somme des coefficients diagonaux de cette matrice. A l’aide d’une somme, elle s’écrit donc :

Tr(A) = \sum_{k=1}^n a_{ii}

C’est donc une application de

M_n(\mathbb{K}) \mapsto \mathbb{K}

où K est un corps.

Exemple

Prenons la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
 \end{pmatrix}

La trace de A est alors

1 + 5 + 9 = 15

Propriétés

A l’aide d’un exercice corrigé dont voici l’énoncé, nous allons montrer les propriétés les plus importantes des traces de matrice :

Nous allons faire ces démonstrations sur le corps des réels mais elles sont plus généralement valables dans un corps K.

Commençons donc par montrer la linéarité de la trace. Soit λ un réel et A une matrice carrée de taille n.

\begin{array}{ll}
Tr(\lambda A) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda a)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}\\
&=\displaystyle \lambda \sum_{i=1}^n a_{ii}\\
& =\lambda Tr(A) 
\end{array}

Soit B une matrice carrée de taille n, on a :

\begin{array}{ll}
Tr(A+B) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (a+b)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n a_{ii}+b_{ii}\\
&=\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ii}+ \sum_{k=1}^n b_{ii}\\
& =Tr(A) +Tr(B)
\end{array}

Ce qui nous montre bien la linéarité de la fonction trace. C’est donc une forme linéaire !

Montrons qu’on peut commuter deux termes :

\begin{array}{ll}
Tr(AB) &=\displaystyle \sum_{i=1}^n (ab)_{ii}\\
& =\displaystyle  \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ij}b_{ji}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}\\
& =\displaystyle  \sum_{j=1}^n (ba)_{ji}\\
& =Tr(BA)
\end{array}

Conséquence : La trace est un invariant de similitude. Si

B = PAP^{-1}

Alors on a :

\begin{array}{ll}
Tr(B) &= Tr(PAP^{-1})\\
&= Tr(P(AP^{-1}))\\
&= Tr((AP^{-1})P)\\
&= Tr(A(P^{-1}P))\\
& = Tr(A) 
\end{array}

Pour la dernière propriété, qui est n’est pas aussi classique que les précédentes. Si une telle matrice de taille n existait, on aurait :

Tr(AB-BA) = Tr(I_n) 

Or,

Tr(AB-BA) = Tr(AB) - Tr(BA) 

Et

Tr(AB) = Tr(BA) 

Donc

0 = Tr(I_n) = n

Ce qui nous permet d’aboutir à une contradiction !

A noter en plus : La trace est invariante par la transposée :

Tr({}^t A) =Tr(A)

Exercice corrigé

Pour faire cet exercice, on va utiliser une formule établie plus haut :

Tr(AM) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji}

On a donc :

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}m_{ji} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}m_{ji}

Grâce à la matrice M = E_l,k matrice élémentaire, on obtient directement

a_{kl} = b_{kl}

car m_lk est le seul terme non nul de la somme et vaut 1. On a donc, en faisant varier k et l :

\forall k,l \in \{1, \ldots, n \},a_{kl} = b_{kl}

D’où A = B