L’intégration par parties est l’une des premières techniques utilisée pour calculer des intégrales. Souvent abrégée sous le terme IPP, elle facilite le calcul de nombreuses intégrales.
La formule de l’intégration par parties
Voici la formule à connaitre. On prend u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle d’intégration [a,b] . On a alors,
\int_a^b u(t)v'(t) dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt
Vous allez voir, la démonstration est assez facile et va vous permettre de comprendre d’où vient cette formule.
Démonstration
D’après la formule de la dérivée d’un produit, on a : (uv)' = u'v + uv' . On peut alors écrire uv' = (uv)' - u'v. Puis, en intégrant de chaque côté, on va alors pouvoir écrire :
\begin{array}{ll}
& \displaystyle \int_a^b u(t) v'(t) dt= \int_a^b (u(t)v(t))' dt - \int_a^b u'(t) v(t)dt\\
\iff & \displaystyle \int_a^b u(t) v'(t) dt= [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t)dt
\end{array}ce qui est le résultat recherché et donc termine la démonstration. Cette technique peut aussi être utilisée pour calculer des primitives
Méthode
Un point important lorsqu’on débute avec cette méthode est de bien noter qui sont u et v ainsi que u’ et v’. Cela permet de beaucoup moins s’embrouiller dans les calculs.
De plus, il peut parfois être nécessaire de réaliser plusieurs intégrations par parties pour arriver au résultat voulu.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Trouver une primitive de x \mapsto \ln(x)
Corrigé : Une astuce pour calculer ce type de primitive est de prendre la fonction constante égale 1 pour u’ et donc x pour u. On a alors :
- u : x \mapsto x
- u' : x \mapsto 1
- v : x \mapsto \ln(x)
- v' : x \mapsto \dfrac{1}{x}
Ainsi, on peut écrire
\int \ln(x)dx = [x \ln(x)] - \int x \times \dfrac{1}{x} dx = x \ln(x) - x +Cavec C \in \R .
Exercice 2
Enoncé : Calculer \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) dx
Corrigé : On va là aussi faire une intégration par parties, en cherchant à diminuer le degré de x (donc le passer de 1 à 0). On va donc faire jouer le rôle de la dérivée au cosinus en posant :
- u : x \mapsto \sin(x)
- u' : x \mapsto \cos(x)
- v : x \mapsto x
- v' : x \mapsto 1
On a alors :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x \cos(x) dx &\displaystyle= \left[x \sin(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \times \sin(x) dx \\
&\displaystyle= \dfrac{\pi}{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) -0 \sin(0)+ \left[x \cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&\displaystyle= \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - 0\cos(0)\\
\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x \cos(x) dx &\displaystyle= \dfrac{\pi}{2}
\end{array}Exercice 3
Enoncé : Calculer \displaystyle \int_1^e x^3 \ln(x) dx
Corrigé : On ne sait pas intégrer le logarithme, on va donc intégrer ce qui reste et voir ce qui se passe
- u : x \mapsto \dfrac{x^4}{4}
- u' : x \mapsto x^3
- v : x \mapsto \ln(x)
- v' : x \mapsto \dfrac{1}{x}
On a alors :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_1^e x^3 \ln(x) dx &\displaystyle= \left[\dfrac{x^4}{4}\ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^4}{4} \times \dfrac{1}{x} dx \\
&\displaystyle= \dfrac{e^4}{4}\ln(e)- \dfrac{1^4}{4}\ln(1)- \int_1^e \dfrac{x^3}{4} dx \\
&\displaystyle= \dfrac{e^4}{4}- \left[\dfrac{x^4}{16}\right]_1^e \\
&\displaystyle= \dfrac{e^4}{4}- \dfrac{e^4}{16}+ \dfrac{1}{16} \\
\displaystyle \int_1^e x^3 \ln(x) dx&\displaystyle= \dfrac{3e^4}{16}+ \dfrac{1}{16} \\
\end{array}Exercice 4
Et si vous alliez voir le cas simple de la formule de Riemann-Lebesgue ?
