Les suites géométriques : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur les suites géométriques : Définition, toutes les propriétés, exemples et exercice pour bien comprendre la notion.
Suite

Définition

Une suite géométrique est définie par 2 éléments, son premier terme u0 et sa raison q. Elle vérifie la relation suivante :

u_{n+1} = q\times u_n 

Propriétés

Ecriture générale

On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n :

u_{n} = u_0\times q^n

Ou de manière plus générale, en fonction d’un terme quelconque :

\forall n,p \in\N, u_n = u_p \times q^{n-p}

Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l’une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite géométrique.

A noter : La suite \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est une suite constante égale à la raison q.

Additivité et multiplicativité

Le produit de suites géométriques est une suite géométrique.
En effet, deux suites géométriques u et v sont définies par

\begin{array}{l}u_0 = a\text{ et raison } = q_1\\
v_{0 }= b \text{ et raison } = q_2\end{array}

Alors montrons que le produit est bien une suite géométrique :

\begin{array}{l}u_n = a \times q_1^n\\ 
v_n = b \times q_2^n
\end{array}

Alors,

u_n \times v_n = a \times b \times \left(q_1\times q_2\right)^n

Ce qui signifie que la suite (u_n \times v_n) est une suite géométrique de premier terme a \times b et de raison r_1 \times r_2.

Une suite géométrique multipliée par une constante c reste une suite géométrique.
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme a et de raison q. Soit c une constante.
La suite s’écrit en fonction de n comme :

u_n = a \times q^n

Si on multiplie tout par c, cu_n = c\times a q^n = ca\times q^n . Ainsi, la suite (cu_n) est donc géométrique de premier terme ca et de raison q.

Attention : La somme de 2 suites géométriques n’est pas une suite géométrique.
Soit (u_n) la suite définie par u_n = 2^n, (u_n) est bien une suite géométrique.
Soit (v_n) la suite définie par v_n = 4<sup>n</sup>, (v_n) est bien une suite géométrique.
On appelle (w_n) la suite issue du produit entre (u_n) et (v_n).
On a les résultats suivants :

\begin{array}{l}
w_0=u_0+v_0 = 1+1=2 \\
w_1= u_1+v_1 = 2+4=6\\
w_2=u_2+v_2 = 4 + 16 = 20
\end{array}

Calculons alors le rapport entre les termes successifs :

\begin{array}{l}
\dfrac{w_1}{w_0}=\dfrac{6}{2} = 3\\ 
\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}
\end{array}

Donc la suite (wn+1/wn) n’est pas une suite constante. Donc cela ne peut pas être une suite géométrique.

Somme des termes d’une suite géométrique

Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d’une suite géométrique :

  • Si q\neq 1,\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+ \ldots+u_n =u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
  • Si q= 1, \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+ \ldots+u_n = (n+1)u_0

Et voici une formule plus générale :

  • Si q\neq 1, p \leq n, \displaystyle \sum_{k=p}^n u_k=u_p+ \ldots+u_n = u_p\frac{q^{n-p+1}-1}{q-1} = premier terme \times\dfrac{q^{\text{nombre de termes}}-1}{q-1}
  • Si q = 1, p \leq n, \displaystyle\sum_{k=p}^n u_k=u_p+ \ldots+u_n= (n-p+1)q = nombre de termes \times u_0

n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 3 à 10 il y a bien 10 – 3 + 1 = 8 termes. Si on détaille, les 8 termes sont 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Soit la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3. Calculer son expression en fonction de n et la somme de ses termes de 0 à n.


Corrigé : D’après le cours, cette suite peut s’écrire premier terme multiplié par la raison puissance n, donc on peut l’écrire : u_n = 3 \times 2^n
La somme de ses termes de 0 à n vaut :

3 \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 3\times(2^{n+1}-1)

Exercice 2

Enoncé : Calculer la somme suivante :

2 + 10 + 50 + 250 + \ldots + 156250

Corrigé : Il faut reconnaitre la somme des termes d’une suite géométrique en écrivant :

\begin{array}{ll}
&2 + 10 + 50 + 250 + \ldots + 156250 \\
=&2 \times 1 + 2\times 5 + 2 \times 25 + 2 \times 125 +\ldots +  2 \times 78125 \\
=&2 \times 5^0 + 2\times 5^1 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3 +\ldots +  2 \times 5^7 \\
\end{array}

On a alors, d’après le cours :

2 + 10 + 50 + 250 + \ldots + 156250 = 2 \times \dfrac{5^8-1}{5-1}=195312

Exercice 3

Enoncé : Déterminer le réel x tel que 5, x et 6 soient les termes consécutifs d’une suite géométrique.

Corrigé : On sait que pour une suite géométrique, le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant. Ainsi, on a :

 \dfrac{x}{5}= \dfrac{6}{x}

D’où, x^2 = 30. Ainsi, x =\pm \sqrt{30}. On en sait pas si la raison est positive ou non, donc les deux solutions sont potentiellement valables.

Exercice 4

Enoncé : Quel capital faut-il placer sur un livret A à 3% par an pour atteindre 10 000 euros dans 10 ans ?

Corrigé : Soit x le capital initial. D’après l’énoncé, on sait que ce capital prend 3% par an. On a donc affaire à une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme u_0 = x . On sait que u_{10} = 10000 . Or, on a aussi u_{10} = u_0 \times (1,03)^{10} = x \times (1,03)^{10} . On peut maintenant trouver x :

x = \dfrac{10000}{(1,03)^{10}}\approx 7440,94

On a arrondi au centime du dessus, on obtiendra donc légèrement plus que 10000 euros (mais ce sera bon au centime près)

Exercices

Exercice 1

  1. Soit u_0 = 4 et q = 3. Déterminer u_5
  2. Soit u_2 = 2 et q = 2. Déterminer u_8
  3. Soit u_5 = 8 et q = -3. Déterminer u_3
  4. Soit u_{100} = 100^200 et r = 10. Déterminer u_0

Exercice 2
Soit la suite (u_n) définie par u_n = 5 \times 2^n

  1. Calculer les 4 premiers termes
  2. Démontrer que [/katex](u_n)[/katex] est une suite géométrique. Donner sa raison
  3. Quelle est la valeur du 15-ème terme ?
  4. Calculer la somme des 15 premiers termes.

Exercice 3
Démontrer qu’une suite vérifiant la relation u_n = u_{n-1} \times u_{n+1} est une suite géométrique.

Exercice 4
Jean-Claude a acheté sa voiture 32000 euros. Chaque année, elle perd 17 % de sa valeur.
Pour tout entier naturel n, on un la valeur en euros de la voiture après n années de baisse.

  1. Calculer u_1
  2. Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n.
  3. Exprimer [/katex]u_n[/katex] en fonction de n.
  4. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 5000 euros ? On pourra utiliser les connaissances sur le logarithme ainsi que la calculatrice
  5. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 1 euro ?

Exercice 5
Un employeur A vous propose un salaire de 3000€/mois et une augmentation de 150€ par an.
Un employeur B vous propose un salaire de 2700€/mois et une augmentation de 7% par an.

  1. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 3 ans dans la société?
  2. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 10 ans dans la société?
  3. A l’aide d’une calculatrice, déterminer le nombre d’années au bout duquel la rémunération de l’employeur B est plus intéressante.

Pour aller plus loin

Suite géométrique convergence
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