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Révisions du bac

Les suites géométriques : Cours et exercices

Définition

Une suite géométrique est définie par 2 éléments, son premier terme u0 et sa raison q. Elle vérifie la relation suivante :

u_{n+1} = q\times u_n 

Propriétés

Ecriture générale

On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n :

u_{n} = u_0\times q^n

Ou de manière plus générale, en fonction d’un terme quelconque :

\forall n,p \in\N, u_n = u_p \times q^{n-p}

Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l’une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite géométrique.

A noter : La suite (un+1/un) est une suite constante égale à la raison q.

Additivité et multiplicativité

Le produit de suites géométriques est une suite géométrique.
En effet, deux suites géométriques u et v sont définies par

\begin{array}{l}u_0 = a\text{ et raison } = q_1\\
v_{0 }= b \text{ et raison } = q_2\end{array}

Alors montrons que le produit est bien une suite géométrique :

\begin{array}{l}u_n = a \times q_1^n\\ 
v_n = b \times q_2^n
\end{array}

Alors,

u_n \times v_n = a \times b \times \left(q_1\times q_2\right)^n

Ce qui signifie que la suite (un x vn) est une suite géométrique de premier terme a x b et de raison r1 x r2.

Une suite géométrique multipliée par une constante c reste une suite géométrique.
Soit (un) une suite géométrique de premier terme a et de raison q. Soit c une constante.
La suite s’écrit en fonction de n comme :

u_n = a \times q^n

Si on multiplie tout par c,

cu_n = c\times a q^n = ca\times q^n

La suite (cun) est donc géométrique de premier terme ca et de raison q.

Attention : La somme de 2 suites géométriques n’est pas une suite géométrique.
Soit (un) la suite définie par un = 2n, (un) est bien une suite géométrique.
Soit (vn) la suite définie par un = 4n, (vn) est bien une suite géométrique.
On appelle (wn) la suite issue du produit entre (un) et (vn).
On a les résultats suivants :

\begin{array}{l}
w_0=u_0+v_0 = 1+1=2 \\
w_1= u_1+v_1 = 2+4=6\\
w_2=u_2+v_2 = 4 + 16 = 20
\end{array}

Calculons alors le rapport entre les termes successifs :

\begin{array}{l}
\dfrac{w_1}{w_0}=\dfrac{6}{2} = 3\\ 
\dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}
\end{array}

Donc la suite (wn+1/wn) n’est pas une suite constante. Donc cela ne peut pas être une suite géométrique.

Somme des termes d’une suite géométrique

Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d’une suite géométrique

\begin{array}{l}
\text{Si } q\neq 1,\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+  \ldots+u_n =u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \\ 
\text{Si } q= 1, \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+  \ldots+u_n = (n+1)u_0
\end{array}

Et voici une formule plus générale :

\begin{array}{l}
\text{Si } q\neq 1,p\leq n,\displaystyle\sum_{k=p}^n u_k=u_p+  \ldots+u_n\\
 = u_p\frac{q^{n-p+1}-1}{q-1}  =\text{premier terme}\times\dfrac{q^{\text{nombre de termes}}-1}{q-1}\\ 
\text{Si }  q= 1, p \leq n,\displaystyle\sum_{k=p}^n u_k=u_p+  \ldots+u_n\\
 = (n-p+1)q =\text{nombre de termes} \times u_0
\end{array}

n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 3 à 10 il y a bien 10 – 3 + 1 = 8 termes. Si on détaille, les 9 termes sont 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Exemple

Soit la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3.
Cette suite peut donc s’écrire un = 3×2n
La somme de ses termes de 0 à n vaut

3 \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 3\times(2^{n+1}-1)

Exercices

Exercice 1
1. Soit u0 = 4 et q = 3. Déterminer u5
2. Soit u2 = 2 et q = 2. Déterminer u8
3. Soit u5 = 8 et q = -3. Déterminer u3
4. Soit u100 = 100200 et r = 10. Déterminer u0

Exercice 2
Soit la suite (un) définie par un = 5 x 2n
1. Calculer les 4 premiers termes
2. Démontrer que (un) est une suite géométrique. Donner sa raison
3. Quelle est la valeur du 15-ème terme ?
4. Calculer la somme des 15 premiers termes.

Exercice 3
Démontrer qu’une suite vérifiant la relation un = un-1 x un+1 est une suite géométrique.

Exercice 4
Jean-Claude a acheté sa voiture 32000 euros. Chaque année, elle perd 17 % de sa valeur.
Pour tout entier naturel n, on un la valeur en euros de la voiture après n années de baisse.

1. Calculer u1
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
3. Exprimer un en fonction de n.
4. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 5000 euros ? On pourra utiliser les connaissances sur le logarithme ainsi que la calculatrice
5. À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à 1 euro ?

Exercice 5
Un employeur A vous propose un salaire de 3000€/mois et une augmentation de 150€ par an.
Un employeur B vous propose un salaire de 2700€/mois et une augmentation de 7% par an.
1) Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 3 ans dans la société?
2) Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 10 ans dans la société?
3) A l’aide d’une calculatrice, déterminer le nombre d’années au bout duquel la rémunération de l’employeur B est plus intéressante.

Pour aller plus loin

Suite géométrique convergence

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