Le déterminant est une notion mathématique qui sert principalement
Prérequis
Définition du déterminant
Il existe une unique forme n-linéaire alternée \det : M_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K} telle que \det(I_n) = 1. Cette unique application est appelée déterminant.
Voici la formule qui permet de calculer le déterminant. Soit A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n } \in M_n(\mathbb{K}) :
\det(A) =\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon (\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)}Propriétés du déterminant
Voici les opérations élémentaires qu’il faut retenir. Il est important de les retenir car ce sont ces opérations là qui permettent de calculer des déterminants en pratique :
- Linéarité à par rapport à la j-ème variable : \det(C_1, \ldots, C_{j-1}, \lambda C_j , \lambda C_{j+1}, \ldots, C_n) = \lambda \det(C_1, \ldots, C_{j-1}, C_j , \lambda C_{j+1}, \ldots, C_n)
- Utilisation du caractère alterné du déterminant \det(C_1, \ldots, C_{j-1}, C_j + \lambda C_i, \lambda C_{j+1}, \ldots, C_n) = \lambda \det(C_1, \ldots, C_{j-1}, C_j , \lambda C_{j+1}, \ldots, C_n) : ajouter ou retrancher une colonne à une autre ne change pas la valeur du déterminant.
- Echanger 2 colonnes : \det(\ldots, C_i, \ldots, C_j, \ldots) = -\det(\ldots, C_j, \ldots, C_i, \ldots). Echanger 2 colonnes fait prendre un – sur la valeur du déterminant.
On a ces mêmes éléments sur les lignes. On peut travailler indépendamment sur les lignes et les colonnes.
Et voici d’autres propriétés :
- \det(I_n) = 1
- \det(0) = 0
- \forall A,B \in M_n(\mathbb{K}), \det(AB) = det(A) \times \det(B)
- Il découle alors la propriété suivante : \det(A^{-1} ) = \dfrac{1}{\det(A)}
- Le déterminant est invariant par transposition : \det(A^T ) = \det(A)
- Deux matrices semblables ont même déterminant
- \forall A \in M_n(\mathbb{K}), \forall \lambda \in \mathbb{K}, \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)
Et bien sûr la propriété qui donne son utilité principale au déterminant : \det(A) \neq 0 \iff A est inversible.
Déterminant d’une matrice triangulaire
Les résultats suivants sont aussi valables, et d’autant plus, pour une matrice diagonale ou diagonale par blocs.
Déterminant d’une matrice triangulaire. Si A est triangulaire inférieure ou supérieure, alors il est facile de calculer son déterminant. Donc si A est sous la forme
A = \begin{pmatrix}
x_1 &&& * \\
& x_2\\
&& \ddots \\
(0) &&& x_n
\end{pmatrix}Le déterminant vaut alors
\det(A) = \prod_{k=1}^n x_i On peut aussi calculer le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs comme celle-ci :
A = \begin{pmatrix}
A_1 &&& * \\
& A_2\\
&& \ddots \\
(0) &&& A_r
\end{pmatrix}Alors dans ce cas le déterminant vaut :
\det(A) = \prod_{i=1}^r \det(A_i) Mineurs dans les déterminants
On appelle mineur de A de position (i,j) noté \Delta_{ij}(A) le déterminant de A auquel on a retiré la i-ème ligne et la j-ème colonne. On a la formule suivante pour extraite un déterminant par les colonnes :
\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\Delta_{ij}(A)Et on a la même version avec les lignes :
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\Delta_{ij}(A)Point de vocabulaire :
- On appelle cofacteur la quantité (-1)^{i+j}\Delta_{ij}(A)
- On appelle comatrice de A, notée com(A), la matrice suivante : ((-1)^{i+j}\Delta_{ij} (A))_{1 \leq i,j \leq n}
De plus, on a la formule suivante : A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}com(A)^T
Cas particuliers de déterminant
Déterminant de taille 2×2
Une matrice de taille 2 x 2 se note
A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c& d
\end{pmatrix}Alors son déterminant est
\det A = \begin{vmatrix}
a & b \\
c& d
\end{vmatrix} = ad -bc Déterminant de taille 3×3 : La formule de Sarrus
Pour un déterminant de taille 3, on a la formule de Sarrus qui permet de le calculer directement, elle est souvent utile. On va définir une matrice A :
A = \begin{pmatrix}
a & b &c \\
d&e&f \\
g & h & i
\end{pmatrix}Le déterminant est alors :
\det A = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
d& e &f \\
g& h &i
\end{vmatrix} = aei + dhc + gbf - (gec+ ahf +dbi)Pour bien comprendre d’où vient cette formule et la retenir, il faut ajouter les deux premières lignes à nouveau :
\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d& e &f \\
g& h &i \\
a & b & c \\
d & e & f
\end{vmatrix}aei + dhc + gbf s’obtient en lisant les termes de chaque diagonale descendante et -(gec+ ahf +dbi) s’obtient en lisant chaque diagonale montante.
Exemple : Calculer le déterminant de
A = \begin{pmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}On a donc :
\det(A) = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4
\end{vmatrix} = 12 + 2 + 2 -(1+6+8) = 1Exemples : les déterminants classiques
Voici quelques déterminants classiques que vous croiserez sûrement en partie dans votre cursus :
