Saviez-vous que de nombreux métiers manuels requièrent la connaissance d’éléments mathématiques du secondaire, que nombre d’entre nous boudaient alors ?
Eh bien, si vous avez répondu “oui” vous ne pourrez plus être étonnés de la suite ! Commençons par un peu d’intuition en marchant dans les pas dans grands penseurs.
Le théorème de Pythagore : de la pratique au concept
Lors des premières constructions humaines, s’est posée la question de la régularité et de l’alignement. Cette recherche est en partie esthétique et de l’autre, utile.
En agriculture, pour partager les terres, il fallait pouvoir tracer aussi rigoureusement que possible des lignes, des cercles et des angles droits. Ces découpages pouvant être discutés, la rigueur était alors nécessaire. C’est pour ça que seraient apparues les cordes 3/4/5* qui permettent de tracer un triangle rectangle parfait. Exemple ci-dessous.
Note : Les triplets de Pythagore sont des ensembles de trois entiers qui satisfont la propriété qu'ils forment ensemble, les longueurs des côtés d'un triangle rectangle (le troisième nombre étant l'hypoténuse).
Expérience
Une corde 3/4/5 est un outil pour tracer des triangles rectangles très utiles sans règles graduées. Elles se composent de 12 unités de longueur délimitées de manière égale en 13 marques (nœuds par exemple).
Pour en créer une c’est assez simple : plantez un cure-dent dans une gomme et calez cette gomme à l’aide d’un livre par exemple, faites pareil avec un second cure-dent et un autre morceau de gomme. Placez ces deux cure-dents à une distance quelconque et avec votre cordon, faites un nœud autour d’un des cure-dent, puis faites-en un deuxième autour du second en tendant la corde en laissant le premier attaché. Faites-en un troisième sur le cure-dent initial, en laissant le tout attaché. Répétez jusqu’à avoir 13 nœuds, puis coupez le cordon en trop.
Vous devriez avoir quelque chose de similaire à cela.
En fixant 3 unités de longueur en laissant 4 d’un côté et 5 de l’autre, si vous avez tendu équitablement votre cordon, vous devriez pouvoir former le triangle rectangle suivant en rapprochant simplement vos deux extrémités comme suit.
Super, vous savez créer un angle droit avec une corde !
Avouons cependant que la méthode n’est ni très rigoureuse, ni très rapide et pratique pour les problèmes qui peuvent se poser régulièrement. De plus, comment faire avec des des constructions d’envergure, comme une maison, un immeuble, un train, etc. ?
C’est là qu’interviennent les mathématiques et leur capacité à généraliser, ou à donner des méthodes calculatoires pour résoudre ce genre de problèmes. La généralisation permet aussi de “modéliser”. C’est-à-dire concevoir avec un degré de certitude élevé que la modélisation coïncide avec la réalité. En somme, il est d’usage de concevoir une maison avant de la construire, à l’aide de plans partant bien souvent de dimensions de base initiales comme : la longueur, la largeur et la hauteur.
Prémices
La civilisation babylonienne (en Mésopotamie, dans le Moyen-Orient actuel) est connue pour ses talents en construction, notamment par ses Jardins suspendus aujourd’hui disparus. Sur l’une de ses tablettes d’argile datant d’environ -1 800 avant J.-C., on retrouve déjà des tailles remarquables de triangles rectangles. Le premier étant de longueur 119, de largueur 120 et d’hypoténuse (diagonale) 169 ; l’unité importe peu.
Pour en savoir plus: sur Wikipédia et une page remarquable : l'histoire derrière le théorème de Pythagore
Un autre triangle rectangle remarquable énoncé sur cette tablette est un triplet : 4961, 6480, 8161.
Soit, mais pourquoi ces dimensions de triangle font que ceux-ci sont rectangulaires ? C’est là qu’intervient la “théorisation”. Un élément commun entre ces triangles est la vérification d’une équation portant sur la valeur du “carré” de chacun de leurs côtés.
Démonstration du théorème de Pythagore
Si nous avons bien tous appris au collège que la longueur de l’hypoténuse correspond à la racine carrée de la somme élevée au carré des deux autres côtés, nous en avons rarement une image explicite.
Les bases : un triangle nommé ABC est d’abord formé par trois points A, B et C. Dans un triangle rectangle on désigne les côtés adjacents (touchant, rejoignant) à l’angle droit* : les cathètes, le troisième côté, le plus long des trois et opposé à l’angle droit, est la diagonale ou l’hypoténuse*.
Note géométrique : Dans le plan euclidien, deux droites sécantes définissent quatre angles deux à deux égaux. Lorsque ces quatre angles sont égaux, chacun forme un angle droit. Les droites sont alors dites perpendiculaires. Le terme angle droit vient du latin angulus rectus : rectus signifie « debout », ce qui renvoie à l'image d'une perpendiculaire à une ligne horizontale. Pour en savoir plus : Wikipédia - angle droit.
Note étymologique : Hypoténuse (n.f.) vient du latin hypotenusa et du grec ancien, hupoteinousa, du préfixe hupo- «sous», et teino, teinein «tendre». Hypoténuse signifie littéralement «celle qui sous-tend», ou «le côté se tendant sous». Les Grecs désignent ainsi le côté du triangle rectangle qui semble être tendu ou étiré par l'angle droit.
Le triangle rectangle représente une figure mais aussi et surtout quelque chose que l’on souhaite reproduire facilement (cf. partie #1). Soit l’on cherche à vérifier que l’angle est droit (réciproque), soit l’on cherche à connaître la longueur d’un des côtés du triangle en faisant l’hypothèse que celui-ci est ou sera rectangle (théorème). Les réponses se trouvent dans l’utilisation de la “seconde dimension” (l’élévation de la distance au carré).
Enonciation du théorème
Le théorème de Pythagore énonce que si un triangle (première condition) a un angle droit (deuxième condition), alors le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres.
En reprenant le schéma précédent, on a : AC le plus long côté (hypoténuse), qui exprime également une distance (remplaçable dans la pratique par un nombre), ainsi :
AC2 = AB2 + BC2
Vérifions avec notre triplet 3/4/5, 5 étant plus grand que 3 et 4, alors 5 correspond à la longueur de l’hypoténuse comme sur les schémas plus haut.
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
L’égalité est vérifiée.
Ce théorème est fondamental dans la construction géométrique et a de nombreuses applications en physiques et en mathématiques. Une application plus avancée : pour les algorithmes d’intelligence artificielle comme les systèmes de recommandation comme les films ou les musiques, se basant sur la distance Euclidienne qui repose complètement sur le théorème de Pythagore. En effet, ce théorème permet d’exprimer facilement la distance entre deux points, en deux dimensions (x,y).
En parlant d’Euclide, voici plusieurs animations démontrant le théorème, la première étant par Euclide au IIIe siècle av. J.-C. C’est la preuve géométrique.
Une seconde, dont l’expérience est visible à la cité des Sciences dans le pôle mathématiques. Visualisation par méthode physique à l’aide de réservoirs de liquides.
Une dernière preuve par soustraction d’aires :
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans le problème du maçon, qui est originel à nos ancêtres, on cherche à vérifier et s’assurer que les angles sont droits, d’où la recherche de triplets comme le 3/4/5. Que nous apprend ce théorème en tant que nouvel outil ?
Eh bien, pour peu que l’on ait une calculatrice et découvert la notion de “racine”, on peut, par le calcul, vérifier que notre triangle est rectangle, c’est la réciproque du théorème, qui dans ce cas est vraie.
Ainsi, si AC2 = AB2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en B. Plus littéralement : “Si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.” Remarquez qu’on isole la condition “rectangle” dans le début de l’énonciation du théorème. C’est naturel puisque c’est exactement cela que l’on cherche à démontrer.
Dans un niveau avancé, on peut aussi énoncer la réciproque par contraposée : “Si un triangle ABC n’est pas rectangle en B, alors AC2 n’est pas égal à AB2 + BC2.
Comment le maçon, sachant cela, peut-il vérifier que l’angle de sa maison est bien droit, de l’intérieur et sans calculatrice ? C’est simple ! Nous avons montré qu’un triangle rectangle dont les cathètes font 3 unités et 4 unités de longueur, ont une hypoténuse de longueur 5 unités.
Le maçon mesure donc 3 unités de longueur (admettons 3 mètres) le long du premier mur, fait une marque, puis mesure 4 unités de longueur (4 mètres) le long du second et fait un seconde marque. Enfin, il mesure la distance en unité entre ces deux marques.
Si la distance fait 5 unités (5 mètres), alors le triangle est rectangle, sinon, il ne l’est pas et l’angle n’est pas droit.
Exercices
#1 – Les triplets de Pythagore
On donne le triangle RTE suivant :
RE = 13
RT = 12
TE = 5
Le triangle RTE est-il rectangle et 5/12/13 est-il est un triplet ?
Conseil : appliquer le théorème (Partie 2 – Enonciation du théorème)
L'exercice était intéressant ? Dites-le nous ;) en dessous !
#2 – Ce triangle est-il rectangle ? Le problème du maçon
On donne le triangle EDF suivant :
ED = 7
DF = 6
Quelle doit-être la longueur de EF pour que EDF soit un triangle rectangle ?
Conseil : appliquer la réciproque du théorème (Partie 2 – Réciproque du théorème)
L'exercice était intéressant ? Dites-le nous ;) en dessous !
#3 – Introduction à la distance euclidienne
Léa et Bob doivent se rejoindre. Léa est au point E, Bob est au point R.
Voici un schéma de la situation. On représente la situation à l’aide d’un repère (R,x,y) et d’un triangle nommé EPR.
Quelle est la plus courte distance que Bob doit parcourir pour rejoindre Léa ?
Conseil : appliquer le théorème (Partie 1 – Enonciation du théorème) Indice, la distance peut-elle raisonnablement supérieure ou égale à la somme des distances (réfléchissez à l’optimisation de vos parcours à pieds) ?
L'exercice était intéressant ? Dites-le nous ;) en dessous !
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