Dans cet article, tu vas découvrir la notion de triangles semblables : comment les reconnaître, quelles sont leurs propriétés et comment les utiliser dans des exercices. Cette notion est fondamentale en géométrie, notamment pour le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore, et elle revient dans de nombreux problèmes au brevet et au bac.
Définition
Deux triangles sont dits semblables si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
- Leurs angles sont deux à deux égaux.
- Leurs côtés sont deux à deux proportionnels.
Plus précisément, deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables si :
\widehat{A} = \widehat{A'}, \quad \widehat{B} = \widehat{B'}, \quad \widehat{C} = \widehat{C'}ou, de manière équivalente, s’il existe un réel k > 0 tel que :
\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} = kLe réel k est appelé le rapport de similitude. On dit que les sommets de même angle sont homologues : A et A' sont homologues, B et B' sont homologues, etc.
Pour ceux qui sont dans le supérieur : la similitude entre triangles est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive).
Les trois cas de similitude
En pratique, il n’est pas nécessaire de vérifier toutes les conditions ci-dessus. Il suffit de vérifier l’un des trois cas suivants pour conclure que deux triangles sont semblables.
cas AA (Angle-Angle)
Deux triangles sont semblables dès qu’ils ont deux angles égaux. Le troisième angle est alors automatiquement égal aussi, car la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
C’est le cas le plus utilisé en pratique : si tu connais deux angles de chaque triangle et qu’ils coïncident, les triangles sont semblables.
Cas CAC (Côté-Angle-Côté)
Deux triangles sont semblables si deux côtés sont proportionnels et si l’angle compris entre ces deux côtés est égal.
Par exemple, si \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} et \widehat{A} = \widehat{A'}, alors les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Cas CCC (Côté-Côté-Côté)
Deux triangles sont semblables si les trois côtés sont proportionnels, c’est-à-dire si :
\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}Il n’est pas nécessaire de connaître les angles dans ce cas.
Propriétés du rapport de similitude
Le rapport de similitude k permet de déduire d’autres informations sur les deux triangles.
Rapport des périmètres
Si deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude k, alors le rapport de leurs périmètres est aussi égal à k.
En effet, si les côtés du premier triangle sont a, b, c, ceux du second valent ka, kb, kc. Le périmètre du second vaut donc ka + kb + kc = k(a + b + c).
Rapport des aires
Si deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude k, alors le rapport de leurs aires est égal à k^2.
Intuitivement, l’aire est une grandeur en deux dimensions : quand on multiplie les longueurs par k, l’aire est multipliée par k \times k = k^2.
Par exemple, si k = 3 et que l’aire du petit triangle vaut 12 \text{ cm}^2, alors l’aire du grand triangle vaut 12 \times 3^2 = 108 \text{ cm}^2.
Exemples
Exemple 1. Le triangle équilatéral de côté 3 et celui de côté 7 sont semblables : les trois rapports valent \frac{7}{3} (cas CCC). Tous les triangles équilatéraux sont semblables entre eux, puisqu’ils ont tous les trois angles égaux à 60°.
Exemple 2. Le triangle ABC de côtés 3, 4, 5 et le triangle A'B'C' de côtés 6, 8, 10 sont semblables avec un rapport k = 2. Ce sont d’ailleurs deux triangles rectangles (vérifie avec le théorème de Pythagore).
Exemple 3. Le triangle de côtés 1, 2, 3 et celui de côtés 4, 5, 6 ne sont pas semblables. En effet, les rapports \frac{4}{1} = 4, \frac{5}{2} = 2{,}5 et \frac{6}{3} = 2 ne sont pas égaux.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : On a un premier triangle ABC dont deux angles sont 40 et 110 et un second triangle DEF dont deux angles sont 30 et 110. Ces triangles sont-ils semblables ?
Corrigé : Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180° :
- Triangle ABC : le troisième angle vaut 180° - 40° - 110° = 30°. Ses angles sont donc 30°, 40° et 110°.
- Triangle DEF : le troisième angle vaut 180° - 30° - 110° = 40°. Ses angles sont donc 30°, 40° et 110°.
Les deux triangles ont les mêmes angles : ils sont semblables (cas AA).
Exercice 2
Enoncé : Les triangles ABC et DEF sont semblables. On sait que AB = BC = 6{,}6, CA = 4, DE = 6 et DF = 9{,}9. Combien vaut EF ?
Corrigé : Le triangle ABC est isocèle en B puisque AB = BC = 6{,}6. Les côtés égaux (6,6) sont les plus grands. Puisque DEF est semblable à ABC, il est aussi isocèle, et ses côtés égaux sont aussi les plus grands. On a DF = 9{,}9 > DE = 6, donc DF est l’un des grands côtés. Le rapport de similitude vaut k = \frac{DF}{AB} = \frac{9{,}9}{6{,}6} = 1{,}5. On vérifie : \frac{DE}{CA} = \frac{6}{4} = 1{,}5. Donc EF = BC \times k = 6{,}6 \times 1{,}5 = 9{,}9.
Exercice 3
Enoncé : ABC et FGH sont deux triangles tels que :
AB = 10 cm, AC = 16 cm, BC = 13 cm;
EF = 2 cm , EG = 3.2 cm, FG = 2.4 cm .
Les triangles ABC et EFG sont-ils semblables ?
Corrigé : Calculons les rapports des côtés correspondants (en ordonnant les côtés par taille croissante) :
\frac{AB}{EF} = \frac{10}{2} = 5, \quad \frac{AC}{EG} = \frac{16}{3{,}2} = 5, \quad \frac{BC}{FG} = \frac{13}{2{,}4} \approx 5{,}42Le dernier rapport n’est pas égal à 5. Les trois rapports ne sont pas tous égaux, donc les triangles ABC et EFG ne sont pas semblables.
Exercice 4
Enoncé : Deux triangles semblables ont un rapport de similitude k = 3. Le petit triangle a un périmètre de 20 cm et une aire de 12 \text{ cm}^2. Calcule le périmètre et l’aire du grand triangle.
Corrigé : Le périmètre du grand triangle vaut 20 \times k = 20 \times 3 = 60 \text{ cm}. L’aire du grand triangle vaut 12 \times k^2 = 12 \times 9 = 108 \text{ cm}^2.
Exercice 5
Enoncé : Le triangle ABC vérifie AB = 6, AC = 9 et \widehat{A} = 50°. Le triangle DEF vérifie DE = 4, DF = 6 et \widehat{D} = 50°. Ces triangles sont-ils semblables ?
Corrigé : On a \widehat{A} = \widehat{D} = 50°. Vérifions si les côtés adjacents à cet angle sont proportionnels :
\frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad \frac{AC}{DF} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}Les deux rapports sont égaux et l’angle compris est le même : les triangles sont semblables par le cas CAC, avec un rapport de similitude k = \frac{3}{2}.
Exercices d’entraînement
- Un triangle ABC a pour côtés AB = 5, BC = 7 et AC = 9. Un triangle DEF a pour côtés DE = 10, EF = 14 et DF = 18. Les triangles sont-ils semblables ? Si oui, quel est le rapport de similitude et quel est le rapport de leurs aires ?
- Deux triangles semblables ont des aires de 25 \text{ cm}^2 et 100 \text{ cm}^2. Quel est le rapport de similitude ? Quel est le rapport de leurs périmètres ?
- Un triangle scalène ABC a des angles de 35°, 65° et 80°. Un autre triangle DEF a des angles de 35° et 80°. Les deux triangles sont-ils semblables ?
FAQ
Deux triangles semblables ont la même forme (mêmes angles) mais pas nécessairement la même taille : leurs côtés sont proportionnels avec un rapport k. Deux triangles égaux (ou isométriques) ont exactement la même forme et la même taille : le rapport de similitude vaut k = 1. Autrement dit, des triangles égaux sont un cas particulier de triangles semblables.
Il y a trois méthodes. La plus simple est le cas AA : il suffit de montrer que deux angles sont égaux (le troisième est automatiquement égal car la somme vaut 180°). On peut aussi utiliser le cas CCC (les trois côtés sont proportionnels) ou le cas CAC (deux côtés proportionnels et l’angle compris est égal).
Si deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude k, alors le rapport de leurs aires est k². Par exemple, si un triangle est 3 fois plus grand qu’un autre (k = 3), son aire est 9 fois plus grande.
Oui. Tous les triangles équilatéraux ont trois angles de 60°, donc ils vérifient le cas AA. Le rapport de similitude est simplement le rapport de leurs côtés.
