Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de triangle semblable, indispensable pour ensuite introduire le théorème de Thalès
Définition
Voici deux définitions de triangle semblable. Deux triangles sont semblables si :
- Leurs côtés sont proportionnels
- Ils ont les mêmes angles
On dit que les sommets de même angle sont homologues. De plus, les angles égaux sont aussi dits homologues.
Pour ceux qui sont dans le supérieur et lisent cet article : la similitude entre triangles est une relation d’équivalence
Propriétés
Ces propriétés peuvent aussi servir de définition aux triangles semblables
- Deux triangles sont semblables si au moins deux angles non orientés de l’un sont égaux à deux angles non orientés de l’autre
- Deux triangles ABC et A’B’C’ sont semblables si k= \dfrac{AB}{A'B'}= \dfrac{AC}{A'C'}= \dfrac{BC}{B'C'} . Ce rapport k est appelé rapport de similitude.
- Deux triangles sont semblables si deux côtés de l’un sont proportionnels à deux côtés de l’autre et si les angles entre ces deux côtés sont égaux.
- Deux triangles sont semblables si deux côtés de l’un sont proportionnels à deux côtés de l’autre et si les angles opposés aux plus grands des deux côtés proportionnels sont égaux
- Deux triangles sont semblables s’il existe une similitude transformant l’un en l’autre. Une similitude est une homothétie, une translation, une rotation, une symétrie orthogonale ou une combinaison de ces éléments.
Exemples
- Le triangle ABC de côtés 3, 4, 5 et le triangle A’B’C’ de côtés 6, 8, 10 sont semblables car les côtés sont proportionnels. Plus exactement, les côtés de A’B’C’ sont 2 fois plus grands que ceux de ABC.
- Le triangle ABC de côtés 1, 2, 3 n’est pas semblable au triangle A’B’C’ de côtés 4, 5, 6. En effet, il y a un rapport de 4 entre les deux côtés les plus petits et un rapport de 2 entre les deux côtés les plus grands.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : On a un premier triangle ABC dont deux angles sont 40 et 110 et un second triangle DEF dont deux angles sont 30 et 110. Ces triangles sont-ils semblables ?
Corrigé : Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180°, le troisième angle de ABC vaut 180 – 30 – 110 = 40.
Les deux triangles ont donc deux angles non orientés égaux, ce qui suffit pour affirmer qu’ils sont semblables.
Exercice 2
Enoncé : ABC et DEF sont deux triangles semblables. On sait que AB = BC = 6,6, que CA = 4 et aussi que DE = 6 et DF = 9,9. Combien vaut EF ?
Corrigé : Assez simplement, on remarque que le triangle est isocèle et que les côtés égaux sont les plus longs. Donc si un des côtés les plus longs vaut 9,9 l’autre aussi. Donc EF = 9,9.
Exercice 3
Enoncé : ABC et FGH sont deux triangles tels que :
AB = 10 cm, AC = 16 cm, BC = 13 cm;
EF = 2 cm , EG = 3.2 cm, FG = 2.4 cm .
Les triangles ABC et EFG sont-ils semblables ? Expliquer.
Corrigé : On remarque que \dfrac{AB}{EF} =\dfrac{10}{2}= \dfrac{AC}{EG} = \dfrac{16}{3,2}= 5. Mais, on a \dfrac{BC}{FG} = \dfrac{13}{2,4} \neq 5.
Cela suffit pour conclure que les triangles ABC et EFG ne sont pas semblables.
