Le prolongement par continuité : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter la notion de prolongement par continuité en la définissant et en proposant quelques exemples et exercices corrigés autour de ce thème. Cette notion est accessible et terminale dans le supérieur

Cours

Définition du prolongement par continuité

Soit I un intervalle et x_0 \in I . Soit f définie sur I \backslash \{ x_0\} . Si \lim_{x \to x_0} f(x) = l existe, alors en posant g définie sur I par

g(x) = \left\{\begin{array}{ll}
f(x) & \text{si } x \neq x_0 \\
l & \text{si } x = x_0 
\end{array}
\right.

La fonction g s’appelle le prolongement par continuité de f en x_0 . La fonction obtenue est continue au point x_0

Exemple de prolongement par continuité

Le plus connu est le plus classique est la fonction f : \R^* \to \R définie par f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}

Pour étudier un éventuel prolongement par continuité en 0 : on calcule la limite en reconnaissant un taux d’accroissement :

f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} =  \dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}

Donc lorsqu’on regarde la limite en 0 :

\lim_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\sin'(0) = \cos(0) = 1

La fonction étant continue sur \R^*, si on pose g définie sur \R par

g(x) = \left\{\begin{array}{cl}
 \dfrac{\sin(x)}{x}  & \text{si } x \neq 0 \\
1 & \text{si } x = 0 
\end{array}
\right.

La fonction obtenue, bien que définie par morceaux, est maintenant continue sur l’ensemble des réels.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : On définit une fonction de cette manière :

f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
(x-2)^2& \text{si } x < 5 \\
a & \text{si } x = 5\\
(2x-b) ^2 & \text{si } x > 5
\end{array}
\right.

1. Déterminer a et b pour que f soit continue sur \R
2. f est-elle dérivable au point x = 5 ?

Corrigé :

Question 1 :

Trouvons la limite commune au point x= 5 . On a :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{x \to 5, x < 5}& = (5-2)^2= 9\\
f(5) &= a\\
\displaystyle \lim_{x \to 5, x > 5}& = (10-b)^2\\
\end{array}

Ce qui fait qu’on a les égalités suivantes :

9 = a = (10-b)^2 

On a donc la valeur de a et on peut en déduire b :

\begin{array}{ll}
& (10-b)^2 = 9\\
\iff & (10 - b)^2 - 9 = 0 \\
\iff & (10 - b)^2 - 3^2 = 0 \\
\iff & (10 - b-3)(10-b+3) = 0 \\
\iff & (7 - b)(13-b) = 0 \\
\iff & b= 7 \text{ ou } b = 13
\end{array}

Ce qui suffit à conclure la question 1.

Question 2 : On calcule la dérivée à gauche :

\lim_{x \to 5, x < 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x < 5}2(x-2) =  2 \times 3 = 6

Puis celle de droite dans les deux cas. On commence par b = 7

\lim_{x \to 5, x> 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x > 5}2(2x-7) =  2 \times 3 = 6

Puis b= 13

\lim_{x \to 5, x> 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x > 5}2(2x-13) =  2 \times (-3) =- 6

Conclusion :

• La dérivée existe en 5 et vaut 6 lorsque b = 7
• Lorsque b = 13, f n’est pas dérivable en x = 5

Exercice 2

Enoncé : Soit f définie sur \R \backslash \{ -2 \} par f(x) = \dfrac{x^3+8}{x+2}. Démontrer qu’on peut prolonger f par continuité en -2

Corrigé : On utilise la généralisation sur les identités remarquables pour factoriser :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{x \to -2 } f(x)  &=\displaystyle \lim_{ x \to 2 }  \dfrac{x^3+8}{x+2}\\
& =\displaystyle \lim_{ x \to -2 } \dfrac{(x+2)(x^2 -2x+4)}{x+2} \\
& =\displaystyle \lim_{ x \to -2 } (x^2 -2x+4) \\
& =12\\
\end{array}

Donc f est prolongeable par continuité en -2 en posant f(-2)= 12. Donc la fonction g définie par

g(x) = \left\{\begin{array}{cl}
 \dfrac{x^3+8}{x+2}  & \text{si } x \neq -2 \\
12 & \text{si } x = -2 
\end{array}
\right.

est continue sur \R. En fait, elle est même infiniment dérivable.

Exercice 3

Enoncé : Soit f la fonction définie sur \R_+^* par

f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
 \dfrac{\ln(x)}{x-1}  & \text{si } x \neq 1 \\
1 & \text{si } x =  1
\end{array}
\right.

Montrer que f est continue sur son ensemble de définition.

Corrigé : f est continue sur \R_+^*\backslash \{ 1 \} par continuité de quotients de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Il reste à étudier la continuité en 1. On se ramène à un taux d’accroissement. En effet,

\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x)  &=\displaystyle \lim_{ x \to 1 }  \dfrac{\ln(x)}{x-1}\\
 &=\displaystyle \lim_{ x \to 1 }  \dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}\\
& =\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \ln'(1)\\
& = \dfrac{1}{1} \\
&= 1 \\
\end{array}