Cet article a pour but de présenter la notion de prolongement par continuité en la définissant et en regardant ses applications avec des exercices corrigés. Cette technique est fondamentale en analyse : elle permet de « combler un trou » dans le domaine de définition d’une fonction en lui attribuant une valeur qui la rend continue. On la rencontre dès la terminale et elle revient très souvent en prépa (MPSI, PCSI, PTSI).
Définition du prolongement par continuité
Soit I un intervalle et x_0 \in I. Soit f définie sur I \setminus \{x_0\}.
Si \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l existe et est finie, alors en posant g définie sur I par :
g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq x_0 \\ l & \text{si } x = x_0 \end{cases}la fonction g s’appelle le prolongement par continuité de f en x_0. La fonction g obtenue est continue au point x_0.
En d’autres termes, prolonger f par continuité en x_0, c’est définir f(x_0) de façon à ce que f devienne continue en ce point.
Remarque : le prolongement par continuité, quand il existe, est unique. En effet, la valeur l est imposée par la limite.
Méthode pour trouver un prolongement par continuité
Pour déterminer si une fonction f admet un prolongement par continuité en un point x_0 où elle n’est pas définie, on suit ces étapes :
- Calculer la limite en x_0. On calcule \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x). Les techniques classiques sont la factorisation, la reconnaissance d’un taux d’accroissement, les [équivalents usuels](https://progresser-en-maths.com/les-equivalents-usuels/) ou la règle de L’Hôpital.
- Vérifier que cette limite est finie. Si la limite vaut +\infty, -\infty ou n’existe pas, alors f n’est pas prolongeable par continuité en x_0.
- Poser la valeur et conclure. Si \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}, on définit g(x_0) = l et la fonction g prolonge f par continuité en x_0
Exemple classiques
Le sinus cardinal : sin(x)/x en 0
C’est l’exemple le plus classique. Soit la fonction f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}.
Pour étudier un éventuel prolongement par continuité en 0, on calcule la limite en reconnaissant un taux d’accroissement :
f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} = \dfrac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0}Donc lorsqu’on regarde la limite en 0 :
\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1La fonction f étant continue sur \mathbb{R}^*, si on pose g définie sur \mathbb{R} par :
g(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}La fonction g obtenue, bien que définie par morceaux, est continue sur \mathbb{R} tout entier. C’est le sinus cardinal.
Le quotient ln(x)/(x-1) en 1
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^* \setminus \{1\} par f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x - 1}. On reconnaît un taux d’accroissement de la fonction \ln en 1 :
\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x) - \ln(1)}{x - 1} = \ln'(1) = 1Donc f se prolonge par continuité en 1 en posant g(1) = 1.
Le quotient (e^x – 1)/x en 0
De la même façon, on reconnaît le taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0 :
\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - e^0}{x - 0} = \exp'(0) = 1Donc la fonction x \mapsto \dfrac{e^x - 1}{x} se prolonge par continuité en 0 en posant g(0) = 1.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : On définit une fonction f de cette manière :
f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
(x-2)^2& \text{si } x < 5 \\
a & \text{si } x = 5\\
(2x-b) ^2 & \text{si } x > 5
\end{array}
\right.- Déterminer a et b pour que f soit continue sur \R
- f est-elle dérivable au point x = 5 ?
Corrigé :
Question 1 :
Trouvons la limite commune au point x= 5 . On a :
\begin{aligned} \lim_{x \to 5^-} f(x) &= (5-2)^2 = 9 \\ f(5) &= a \\ \lim_{x \to 5^+} f(x) &= (10-b)^2 \end{aligned}Ce qui fait qu’on a les égalités suivantes :
9 = a = (10-b)^2
On a donc la valeur de a et on peut en déduire b :
\begin{array}{ll}
& (10-b)^2 = 9\\
\iff & (10 - b)^2 - 9 = 0 \\
\iff & (10 - b)^2 - 3^2 = 0 \\
\iff & (10 - b-3)(10-b+3) = 0 \\
\iff & (7 - b)(13-b) = 0 \\
\iff & b= 7 \text{ ou } b = 13
\end{array}Ce qui suffit à conclure la question 1.
Question 2 : On calcule la dérivée à gauche :
\lim_{x \to 5, x < 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x < 5}2(x-2) = 2 \times 3 = 6Puis celle de droite dans les deux cas. On commence par b = 7
\lim_{x \to 5, x> 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x > 5}2(2x-7) = 2 \times 3 = 6Puis b= 13
\lim_{x \to 5, x> 5} f'(x) = \lim_{x \to 5, x > 5}2(2x-13) = 2 \times (-3) =- 6Conclusion :
- La dérivée existe en 5 et vaut 6 lorsque b = 7
- Lorsque b = 13, f n’est pas dérivable en x = 5
Exercice 2
Enoncé : Soit f définie sur \R \backslash \{ -2 \} par f(x) = \dfrac{x^3+8}{x+2}. Démontrer qu’on peut prolonger f par continuité en -2
Corrigé : On utilise la généralisation sur les identités remarquables pour factoriser :
\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{x \to -2 } f(x) &=\displaystyle \lim_{ x \to 2 } \dfrac{x^3+8}{x+2}\\
& =\displaystyle \lim_{ x \to -2 } \dfrac{(x+2)(x^2 -2x+4)}{x+2} \\
& =\displaystyle \lim_{ x \to -2 } (x^2 -2x+4) \\
& =12\\
\end{array}Donc f est prolongeable par continuité en -2 en posant f(-2)= 12. Donc la fonction g définie par
g(x) = \left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^3+8}{x+2} & \text{si } x \neq -2 \\
12 & \text{si } x = -2
\end{array}
\right.est continue sur \R. En fait, elle est même infiniment dérivable.
Exercice 3
Enoncé : Soit f la fonction définie sur \R_+^* par
f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{\ln(x)}{x-1} & \text{si } x \neq 1 \\
1 & \text{si } x = 1
\end{array}
\right.Montrer que f est continue sur son ensemble de définition.
Corrigé : f est continue sur \R_+^*\backslash \{ 1 \} par continuité de quotients de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Il reste à étudier la continuité en 1. On se ramène à un taux d’accroissement. En effet,
\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) &=\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \dfrac{\ln(x)}{x-1}\\
&=\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}\\
& =\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \ln'(1)\\
& = \dfrac{1}{1} \\
&= 1 \\
\end{array}f est donc bien continue sur son ensemble de définition.
Exercices d’entrainement
Exercice 1. Soit f définie sur \mathbb{R} \setminus \{0\} par f(x) = \dfrac{e^{2x} - 1}{e^x-1}. Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0 et le déterminer.
Exercice 2. Soit f définie sur \mathbb{R} \setminus \{1\} par f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}. La fonction f admet-elle un prolongement par continuité en 1 ? Si oui, lequel ?
Exercice 3. Soit f définie sur \mathbb{R}^* par f(x) = \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2}. Déterminer le prolongement par continuité de f en 0.
FAQ
C’est une technique qui consiste à définir la valeur d’une fonction en un point où elle n’est pas définie, de sorte qu’elle devienne continue en ce point. On calcule la limite de la fonction en ce point : si elle existe et est finie, on l’utilise comme valeur pour « combler le trou ».
Une fonction continue est définie et sans « saut » en chaque point de son domaine. Le prolongement par continuité s’applique quand la fonction n’est pas définie en un point (par exemple à cause d’une division par zéro), mais que la limite existe. On étend alors le domaine de définition en ajoutant ce point.
La fonction sin(x)/x n’est pas définie en 0 (division par 0), mais sa limite quand x tend vers 0 vaut 1. En posant g(0) = 1, on obtient une fonction continue sur ℝ tout entier, appelée sinus cardinal.
Le prolongement par continuité garantit que la fonction étendue est continue au point ajouté, mais elle n’est pas forcément dérivable en ce point. La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable (point anguleux).
