Définitions

Par le cercle trigonométrique (niveau lycée)

Soit un point du cercle trigonométrique avec un angle x par rapport à l’axe des abscisses. Le cosinus est alors l’abscisse de ce point et le sinus en est l’ordonnée. Voici un schéma pour mieux comprendre.

Avec un triangle rectangle (niveau collège)

Triangle
Triangle rectangle

On a alors comme formules pour le sinus et le cosinus :

\begin{array}{l}\cos\left(x\right)\ =\ \frac{adjacent}{hypoténuse}\\ \\
\sin\left(x\right)\ =\ \frac{opposé}{hypoténuse}\end{array}

A partir d’une série entière (prépa)

On peut définir cosinus et sinus comme une série entière :

\begin{array}{l}\cos\left(x\right)\ =\ \sum_{n=0}^{+\ \infty}\left(-1\right)^n\ \frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\\ \\
\sin\left(x\right)\ =\ \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^n\ \frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\end{array}

Graphes

Voici le graphe du cosinus

Cosinus
Graphe du cosinus

Et celui du sinus

Graphe de la fonction sinus

Propriétés

Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, ce qui veut dire que

\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R},\ \cos\left(x+2\pi\right)\ =\ \cos\left(x\right)\\
\forall\ x\ \in\mathbb{R},\ \sin\left(x+2\pi\right)\ =\ \sin\left(x\right)\end{array}

La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire :

\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R},\ \cos\left(-x\right)\ =\ \cos\left(x\right)\\
\forall\ x\ \in\mathbb{R},\ \sin\left(-x\right)\ =\ -\sin\left(x\right)\end{array}

La formule suivante est aussi à retenir :

\cos^2(x) +\sin^2(x)=1

Tableau de valeurs de cosinus et sinus

\begin{array}{ |c|c|c| c| c| c| c| } 
 \hline
 x & 0 & \frac{\pi}{6}& \frac{\pi}{4}& \frac{\pi}{3}& \frac{\pi}{2}&\pi \\ \hline
 \cos(x) & 1 & \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{\sqrt 2}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 \\ \hline
 \sin(x) & 0 &  \frac{1}{2}& \frac{\sqrt 2}{2} & \frac{\sqrt 3}{2} &1&0   \\ 
 \hline
\end{array}

Dérivées

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur leur ensemble de définition et ont pour dérivée :

\begin{array}{l}\cos^{\prime}\left(x\right)\ =\ -\ \sin\left(x\right)\\
\sin^{\prime}\left(x\right)\ =\ \cos\left(x\right)\end{array}

Limites

\begin{array}{l}\lim_{x\to0}\ \frac{\sin\left(x\right)}{x}=1\\
\lim_{x\to0}\ \frac{\cos\left(x\right)-1}{x^2}=\frac{1}{2}\end{array}

Pour le reste, sinus et cosinus ont un grand nombre de propriétés que vous trouverez ici dans cet article.

Exemples

Exemple 1
Simplifier l’expression

cos\left( \frac{37 \pi}{6}\right)

On utilise la périodicité de cos :

\cos \left(\frac{37\pi }{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{36\ \pi +\pi }{6}\right)=\cos \left(6\pi +\frac{\pi }{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}

Exemple 2
Résoudre dans ]-π,π[ l’équation suivante :

2\sin(x) + \sqrt 2 = 0

Commençons par simplifier l’expression

\begin{array}{l}2\sin (x)+\sqrt{2}=0\ \\
\Leftrightarrow \ 2\sin \left(x\right)=-\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow \ \sin \left(x\right)\ =\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}

Ensuite, regardons le cercle trigonométrique :

Cercle trigo équation

Graphiquement on voit qu’on a 2 solutions. Finissons la résolution.

\begin{array}{l}\sin\left(x\right)\ =\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\
\Leftrightarrow\ -\sin\left(x\right)\ =\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\
\Leftrightarrow\ \sin\left(-x\right)\ =\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\
\Leftrightarrow\ -x\ \ \in\left\{\frac{\pi}{4};\pi-\frac{\pi}{4}\right\}\\ \\
\Leftrightarrow\ -\ x\ \in\left\{\frac{\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4}\right\}\\ \\
\Leftrightarrow\ x\ \in\left\{-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right\}\end{array}

Exemple 3
Résoudre l’équation suivante dans ]-π,π] :

2\ \cos^2\left(x\right)\ -\ 3\cos\left(x\right)\ -\ 2\ =\ 0

On pose X = cos(x) et on résoud l’équation :

\begin{array}{l}2X^{2\ }-3X\ -\ 2\ =\ 0\\ \\
\Delta\ =\ \left(-3\right)^2-4\ \times\left(-2\right)\times2=\ 9-8\ =1\\ \\
X_1=\frac{3-1}{2}=1\\ \\
X_2\ =\ \frac{3+1}{2}=2\end{array}

On a alors 2 solutions : 1 et 2. Mais on peut en éliminer une.
En effet, cos(x)=X = 2 n’a pas de solution. On est alors ramenés à résoudre cos(x) = 1. Sur l’intervalle considéré, 0 est l’unique solution.

Exercices

Exercice 1

\begin{array}{l}Soit\ f\ la\ fonction\ définie\ par\ f\left(x\right)\ =\ \frac{5}{5+\cos\left(x\right)}\\
1)\ Déterminer\ l'ensemble\ de\ définition\ de\ f\\
2)\ Montrer\ que\ la\ fonction\ f\ est\ paire\ et\ déterminer\ sa\ période\\
3)\ Calculer\ la\ dérivée\ f^{\prime}\ et\ donner\ son\ intervalle\ sur\ \left[0;\pi\right]\\
4)\ Dresser\ le\ tableau\ de\ variation\ sur\ \left[-\pi;\pi\right]\ et\ tracer\ la\ fonction\ sur\ \left[-\pi;3\pi\right]\end{array}

Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes sur l’intervalle I donné :

\begin{array}{l}\sin^2\left(x\right)\ -\frac{3}{2}\sin\left(x\right)\ -1\ =\ 0,\ I\ =\ \left[-\pi,\pi\right]\\ \\
\sin\left(x\right)=-\frac{1}{2},\ I\ =\ \left[-2\pi,2\pi\right]\\ \\
\cos\left(x\right)\ =\ \sin\left(x\right),\ I\ =\ \left[-\pi,\pi\right]\\
\end{array}

Exercice 3

\begin{array}{l}Sachant\ que\ \cos\left(-\frac{9\pi}{5}\right)\ =\ \frac{\sqrt{5}+1}{4}\ :\\ \\
1)\ Calculer\ la\ valeur\ de\ \sin\left(\frac{9\pi}{\sin}\right)\\ \\
2)\ En\ déduire\ la\ valeur\ de\ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\ et\ de\ \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\end{array}

Exercice 4
Résoudre dans ]-π,π] les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\le\ \cos\left(x\right)\ <1\\ \\
\sin\left(x\right)\ <\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\
\cos\left(x\right)\ \ge\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\
-\frac{1}{2}\le\ \sin\left(x\right)\le1\end{array}

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