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Cosinus et Sinus
Révisions du bac

Cosinus et Sinus : Cours et exercices

Cet article a pour but de faire un cours avec des exemples sur les sinus et cosinus. Si vous cherchez des propriétés, allez plutôt voir cet article.

Définitions

Par le cercle trigonométrique (niveau lycée)

Soit un point du cercle trigonométrique, c’est à dire le cercle qui a pour centre l’origine et pour rayon 1. Prenons un angle x par rapport à l’axe des abscisses. Le cosinus est alors l’abscisse de ce point et le sinus en est l’ordonnée. Voici un schéma pour mieux comprendre comment définir sinus et cosinus via le cercle trigonométrique.

Avec un triangle rectangle (niveau collège)

Triangle
Triangle rectangle

On a alors comme formules pour le sinus et le cosinus :

\begin{array}{l}\cos(x) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\\ \\
\sin(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\end{array}

A partir d’une série entière (prépa)

On peut définir cosinus et sinus comme une série entière :

\begin{array}{l}\cos\left(x\right)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\ \infty}\left(-1\right)^n\ \frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\\ \\
\sin\left(x\right)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-1\right)^n\ \frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\end{array}

Graphes

Voici le graphe du cosinus

Cosinus
Graphe du cosinus

Et celui du sinus

Graphe de la fonction sinus

Propriétés

Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, ce qui veut dire que

\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R}, \cos(x+2\pi) = \cos\left(x\right)\\
\forall x \in\mathbb{R}, \sin\left(x+2\pi\right)=\sin(x)\end{array}

La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire :

\begin{array}{l}\forall x \in\mathbb{R},\cos\left(-x\right) = \cos(x)\\
\forall x\in\mathbb{R},\sin\left(-x\right) = -\sin(x)\end{array}

La formule suivante est aussi à retenir :

\cos^2(x) +\sin^2(x)=1

Les valeurs de sinus et cosinus à connaitre

\begin{array}{ |c|c|c| c| c| c| c| } 
 \hline
 x & 0 & \frac{\pi}{6}& \frac{\pi}{4}& \frac{\pi}{3}& \frac{\pi}{2}&\pi \\ \hline
 \cos(x) & 1 & \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{\sqrt 2}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 \\ \hline
 \sin(x) & 0 &  \frac{1}{2}& \frac{\sqrt 2}{2} & \frac{\sqrt 3}{2} &1&0   \\ 
 \hline
\end{array}

Il est bien sûr indispensable de retrouver très rapidement les valeurs de sinus de 0 et cosinus de 0 :

  • cos(0) = 1
  • sin(0) = 1

En revanche, sinus de 1 et cosinus de 1 n’ont pas de valeur précise :

  • cos(1) ≈ 0.54030230586
  • sin(1) ≈ 0.8414709848

Dérivées

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur leur ensemble de définition et ont pour dérivée :

\begin{array}{l}\cos^{\prime}(x)=-\sin(x)\\
\sin^{\prime}(x) = \cos\left(x\right)\end{array}

Limites

\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to0}\ \frac{\sin\left(x\right)}{x}=1\\
\displaystyle \lim_{x\to0}\ \frac{\cos\left(x\right)-1}{x^2}=\frac{1}{2}\end{array}

Pour le reste, sinus et cosinus ont un grand nombre de propriétés que vous trouverez ici dans cet article.

Exemples

Exemple 1
Simplifier l’expression

\cos\left( \frac{37 \pi}{6}\right)

On utilise la périodicité de cos :

\cos \left(\frac{37\pi }{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{36\ \pi +\pi }{6}\right)=\cos \left(6\pi +\frac{\pi }{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}

Exemple 2
Résoudre dans ]-π,π[ l’équation suivante :

2\sin(x) + \sqrt 2 = 0

Commençons par simplifier l’expression

\begin{array}{ll}&2\sin (x)+\sqrt{2}=0\ \\
\iff& 2\sin (x)=-\sqrt{2}\\
\iff& \sin (x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}

Ensuite, regardons le cercle trigonométrique :

Cercle trigo équation

Graphiquement on voit qu’on a 2 solutions. Finissons la résolution.

\begin{array}{ll}&\sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 
\Leftrightarrow& -\sin\left(x\right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 
\Leftrightarrow& \sin\left(-x\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 
\Leftrightarrow& -x\in\left\{\dfrac{\pi}{4};\pi-\dfrac{\pi}{4}\right\}\\ 
\Leftrightarrow& - x \in\left\{\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4}\right\}\\ 
\Leftrightarrow& x \in\left\{-\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right\}
\end{array}

Exemple 3
Résoudre l’équation suivante dans ]-π,π] :

2 \cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 =0

On pose X = cos(x) et on résoud l’équation :

\begin{array}{l}2X^{2}-3X -2 = 0\\ 
\Delta = (-3)^2-4\times(-2)\times2= 9-8 =1\\ 
X_1=\dfrac{3-1}{2}=1\\ 
X_2\ =\dfrac{3+1}{2}=2\end{array}

On a alors 2 solutions : 1 et 2. Mais on peut en éliminer une.
En effet, cos(x)=X = 2 n’a pas de solution. On est alors ramenés à résoudre cos(x) = 1. Sur l’intervalle considéré, 0 est l’unique solution.

Exercices

Exercice 1

\begin{array}{l}\text{Soit f la fonction définie par } f\left(x\right) =\dfrac{5}{5+\cos\left(x\right)}\\
1)\text{ Déterminer l'ensemble de définition de f}\\
2)\text{ Montrer que la fonction f est paire et déterminer sa période}\\
3)\text{ Calculer la dérivée } f^{\prime}\text{ et donner son intervalle sur } [0;\pi]\\
4)\text{ Dresser le tableau de variation sur } \left[-\pi;\pi\right]\text{ et tracer la  fonction sur }\left[-\pi;3\pi\right]\end{array}

Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes sur l’intervalle I donné :

\begin{array}{ll}\sin^2\left(x\right) -\frac{3}{2}\sin\left(x\right) -1 = 0 &I = \left[-\pi,\pi\right]\\ 
\sin\left(x\right)=-\frac{1}{2}&I = \left[-2\pi,2\pi\right]\\ 
\cos\left(x\right)= \sin\left(x\right)& I = \left[-\pi,\pi\right]
\end{array}

Exercice 3

\begin{array}{l}\text{Sachant que } \cos\left(-\dfrac{9\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\ :\\ 
1)\text{ Calculer la valeur de }\sin\left(\dfrac{9\pi}{\sin}\right)\\ 
2)\text{ En déduire la valeur de } \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\text{ et de } \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\end{array}

Exercice 4
Résoudre dans ]-π,π] les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\le \cos\left(x\right) <1\\ 
\sin\left(x\right) <\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 
\cos\left(x\right) \ge\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 
-\frac{1}{2}\le \sin\left(x\right)\le1\end{array}

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