L’inégalité des accroissements finis : Cours et Exercices corrigés

L’inégalité des accroissements finis peut être une conséquence bien connue du théorème des accroissements finis et qui permet de faire plus d’exercices que le théorème en question. 

Prérequis

• Le théorème des accroissements finis

Enoncé du théorème des accroissements finis 

Soit a<b deux réels. On considère f : [a,b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. On suppose qu’il existe m< M tels que \forall t \in ]a,b[, m \leq f’(t)\leq M. On a alors : 

m \leq \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq M

Corollaire : Soit f : [a,b] \mapsto \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. On suppose qu’il existe M>0 telle que \forall t \in ]a,b[, |f’(t)|\leq M. On a alors : 

|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|

Une telle fonction est dit M-lipschitzienne. 

N-B : On peut remplacer \R par \mathbb{C}

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Soit a,b \in \R. Démontrer que |\sin(a)-\sin(b)|\leq |a-b|

Corrigé : Soit x \in \R et f définie par f(x) = \sin(x) . f est dérivable. On a alors f’(x) = \cos(x). Ensuite, on remarque que |f’(x)|\leq 1 ce qui nous donne donc, d’après le corollaire de l’inégalité des accroissements finis, en prenant M =1 , \forall a,b \in \R, |f(b) -f(a) | \leq 1.|b-a| = |b-a|. C’est bien le résultat recherché.  

Exercice 2

Enoncé : Soit a et b 2 réels positifs tels que 0 < a <b. Démontrer que 

Corrigé : Pour cette question, on va considérer la fonction f définie sur les réels positifs par f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}. On a, sur [a,b], f’(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}} . On a l’inégalité suivante : \forall x \in [a,b], m=\dfrac{1}{2\sqrt{b}} \leq f’(x) \leq M=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}. 

D’après l’inégalité des accroissements finis, on obtient alors : 

\dfrac{1}{2\sqrt{b}} \leq \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{a}} \iff \dfrac{1}{2\sqrt{b}} \leq \dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{a}}

On a donc obtenu le résultat voulu. 

Question bonus (laissée au lecteur) : En déduire un équivalent de S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}

Question bonus 2 : Majorer la différence suivante : \sqrt{10001}-100

Exercice 3

Enoncé : Soit f : \R \to \R une fonction bornée et dérivable telle que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f’(x) = l . Montrer que l=0

Corrigé : Supposons que l \neq 0. Quitte à considérer l’opposé de f, on peut supposer que l > 0. Dans ce cas, 

\exists A > 0, \forall x \geq A, f’(x)  \geq \dfrac{l}{2} 

On a alors, d’après l’inégalité des accroissements finis, \forall x \geq A, f(x) - f(A) \geq \dfrac{l}{2} (x-A)\iff f(x) \geq  f(A) + \dfrac{l}{2} (x-A) . Lorsqu’on fait tendre x vers l’infini, on obtient alors \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty ce qui est contradictoire avec le fait que f soit bornée. On a donc nécessairement l =0