Dans cet article, nous allons aborder la notion de factorisation et corriger quelques exercices à ce sujet.
Définition de la factorisation
La définition du dictionnaire est la suivante : “Écrire une expression sous la forme de produits de facteurs”. En effet, il s’agit d’écrire une expression sous la forme de produits dont le but est de simplifier certaines expressions. Il s’agit donc, pour le dire autrement, de trouver le terme commun entre plusieurs expressions.
Propriétés
La formule de base de la factorisation est la suivante a\times b + a \times c =a \times (b+c)
Les identités remarquables sont aussi des formules de factorisation.
Exemples
Voici des premiers exemples de factorisation :
- 3 x + 3y : 3 est un facteur commun aux deux membres. La forme factorisée est donc 3 (x+y)
- 4a + 4ab = 4a \times 1+4ab : 4a est un facteur commun. On va donc factoriser sous la forme 4a(1 + b)
- 5x^2 + 25x : Cette fois on remarque que le facteur commun est 5x. La factorisation va donc se faire sous la forme 5x (x + 5)
Exercices corrigés
Exercice 1
Factoriser (x+2)(x+5)+(x+3)(x+2).
Ce n’est pas parce que le facteur commun est de deux côtés différents – l’un à gauche et l’autre à droite – que ce ne sont pas des facteurs communs. Écrivons donc (x+2)(x+5)+(x+3)(x+2)=(x+2)(x+5)+(x+2)(x+3). x+2 est donc un facteur commun. On a alors (x+2)(x+5)+(x+2)(x+3)=(x+2)(x+5+x+3) = (x+2)(2x+8). Il ne faut pas s’arrêter là ! On peut encore factoriser par 2. On a finalement (x+2)(2x+8)=2(x+2)(x+4)
Exercice 2
Factoriser (1-x)^2-x(1-x)-(1-x)(1+x). On a 3 facteurs, dont on peut extraire un facteur commun qui est 1-x. On obtient alors (1-x)^2-x(1-x)-(1-x)(1+x)=(1-x)(1-x -x -(1+x))=(1-x) (1-2x-1-x)=(1-x)(-3x) = -3x(1-x). La dernière écriture étant surtout une question de forme.
Exercice 3
Factoriser 210x + 330 y.
Ici, on va y aller pas à pas. On voit d’abord que 10 est un facteur commun : 210x + 330 y= 10 \times (21x+33y). On remarque ensuite que 3 est encore un facteur commun. 10 \times (21x+33y)= 10 \times 3 \times (7x+11y)= 30 \times(7x +11y) . Finalement, on remarque que 7 et 11 sont premiers entre eux. On ne peut donc pas factoriser plus.
Exercices
Exercice 1
Factoriser les expressions suivantes :
- 4x + 6
- 3a + 6b + 12c
- 3a + 7ab + 4a
- x^2-x
Exercice 2
Factoriser les expressions suivantes :
- x(2x+5) + x(3x + 1)
- (x+1)(x+12)+(x+1)(3x+24)
- (x+3)^2+(x+3)(x+7)
Exercice 3
Factoriser les expressions suivantes :
- 5x^2 (a-b) - 5y^2 (a-b)
- 50 x^2 y + 40 y^3 + 18 xy^2
- 3(1 - 5x) + (1-5x) \times 12 y + (1-5x)^2
Exercice 4
Factoriser les expressions suivantes :
- 7a^5 - 49 a^4
- 9a^3 + 36 a^6 + 72 a^9
- 148 x^7 - 2x
Exercice 5
Factoriser les expressions suivantes :
- ad+ac+bc+bd
- ad+ac-bc-bd
