Les limites : Cours et exercices corrigés

Voici toutes les propriétés importantes des limites et quelques exercices pour bien appliquer ces propriétés
Limites propriétés

Cet article a pour but de présenter diverses propriétés sur les limites et des exercices accessibles au lycée

Propriétés

Addition de limites

Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour additionner des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). La limite de f + g est alors

Limite de f en a \ Limite de g en a-∞b+∞
-∞-∞-∞Indéterminée
a-∞a+b+∞
+∞Indéterminée+∞+∞

Soustraction de limite

Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour soustraire des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). La limite de f – g est alors

Limite de f en a \ Limite de g en a-∞b+∞
-∞Indéterminée+∞-∞
a+∞a-b-∞
+∞+∞+∞Indéterminée

Produit de limites

Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour multiplier des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). sgn(a) signifie “signe de a”. La limite de f x g est alors

Limite de f en a \ Limite de g en a-∞0b+∞
-∞+∞Indéterminée-sgn(b) x ∞-∞
0Indéterminée00Indéterminée
a-sgn(a) x ∞0a x bsgn(a) x ∞
+∞-∞Indéterminéesgn(b) x ∞+ ∞

De plus, Si f admet en a une limite finie et si d est une constante réelle alors la fonction d x f admet une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}[d\times f(x)] = d\times \lim_{x \to a}f(x)

Quotient de limites

Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour multiplier des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). sgn(a) signifie “signe de a”. La limite de f / g est alors :

Limite de f en a \ Limite de g en a-∞0b+∞
-∞IndéterminéeIndéterminée-sgn(b) x ∞Indéterminée
00Indéterminée00
a0Indéterminéea / b0
+∞IndéterminéeIndéterminéesgn(b) x ∞Indéterminée

Composition de limites

Soient a, b et c trois réels et f et g deux fonctions.
Si

\lim_{x \to a }f(x) = b

et

\lim_{x \to b }g(x) = c

Alors

\lim_{x \to a }g(f(x)) = c

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de x^2 e^x

Corrigé : On a, d’une part :

\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty

Et d’autre part :

\lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty

Le produit de ces limites nous donne la limite recherchée : \lim_{x \to +\infty} x^2e^x = + \infty

Exercice 2

Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de x\sqrt{x} - x +1

Corrigé : On factorise par le terme le plus fort :

\begin{array}{ll}
 x\sqrt{x} - x +1 =  x\sqrt{x} \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\right)
\end{array}

On a ensuite : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x}= + \infty et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}= 1 .

On conclut donc en faisant le produit de ces limites : \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x} - x +1 = + \infty

Exercice 3

Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2}

Corrigé : On factorise par le terme le plus au numérateur et au dénominateur :

\begin{array}{ll}
 \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2} &=\dfrac{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(4+\frac{3}{x}+\frac{2}{x}\right)}\\
&= \dfrac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{3}{x}+\frac{2}{x}}
\end{array}

On a ensuite : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}= 1 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}= 1 .

On conclut donc en faisant le quotient de ces limites : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2}= \dfrac{1}{4}

Exercices (proposés par Valentin Melot)

Exercice 1 – Echauffement

Déterminer les limites suivantes :

\begin{array}{lll}
A &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} 2x^4+2x^2 +3 \\
B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty}e^{2x}+\dfrac{e^x}{x}+x^{17}-2 \\
C &=& \displaystyle \lim_{x \to- \infty} xe^x \\
D &=& \displaystyle \lim_{x \to 0,x>0}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\
\end{array}

Exercice 2 – Factorisations

Déterminer ces limites en l’infini

\begin{array}{lll}
E &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 13x^3 -7x^2 +7x -11\\
F &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty}14e^{-x} +8x^9 -7x^3\\
G &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+17}{x-11} \\
H &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2+7x-5}{11x+2}  \\
I &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{11x}-7xe^{3x}+14x-7+e^{-2x}}{7x^{32}e^{10x}-5x^4+1} \\
J &=& \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{xe^x+x^4}{x^2e^x +x^2}  \\
\end{array}

Exercice 3 – A tenter en 30 minutes

Calculer, en justifiant soigneusement, les limites suivantes. On indiquera les transformations effectuées, ainisi que les limites de référence et les théorèmes utilisés

\begin{array}{lll}
A &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} 2x^2+3 \\
B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x+5}{6x-1} \\
C &=& \displaystyle \lim_{x \to+ \infty} 3e^x + 3x^2+2x-1 \\
D &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} xe^{2x}-e^{2x}-x^{14}e^{x} -7x \\
E &=& \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} x\sin(x) -\cos(x) \\
F &=& \displaystyle \lim_{x \to 0, x>0} \dfrac{5x^4-7x+\sqrt{x}e^x}{x^5e^{7x}-3\sqrt{x}} \\
G &=& \displaystyle \lim_{x \to 1,x<1} \exp \left( \dfrac{-1}{1-x^2}\right) \\
H &=& \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1}  \\
I &=& \displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin\left( \dfrac{1}{x^2} \right) \\
J &=& \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}  \\
\end{array}

Bonus : Calculer la limite suivante :

K = \lim_{x \to + \infty}\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}

Exercice 4 – Difficile

Calculer les limites suivantes :

\begin{array}{lll}
A &=& \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x} \\ \\
B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x-1}} \\ \\
C &=& \displaystyle \lim_{x \to+ \infty}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x-2}} \\
\end{array}

Pour la question C, on pourra s’appuyer sur une identité remarquable.

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