Cet article a pour but de présenter diverses propriétés sur les limites et des exercices accessibles au lycée
Propriétés
Addition de limites
Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour additionner des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). La limite de f + g est alors
Limite de f en a \ Limite de g en a | -∞ | b | +∞ |
-∞ | -∞ | -∞ | Indéterminée |
a | -∞ | a+b | +∞ |
+∞ | Indéterminée | +∞ | +∞ |
Soustraction de limite
Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour soustraire des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). La limite de f – g est alors
Limite de f en a \ Limite de g en a | -∞ | b | +∞ |
-∞ | Indéterminée | +∞ | -∞ |
a | +∞ | a-b | -∞ |
+∞ | +∞ | +∞ | Indéterminée |
Produit de limites
Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour multiplier des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). sgn(a) signifie “signe de a”. La limite de f x g est alors
Limite de f en a \ Limite de g en a | -∞ | 0 | b | +∞ |
-∞ | +∞ | Indéterminée | -sgn(b) x ∞ | -∞ |
0 | Indéterminée | 0 | 0 | Indéterminée |
a | -sgn(a) x ∞ | 0 | a x b | sgn(a) x ∞ |
+∞ | -∞ | Indéterminée | sgn(b) x ∞ | + ∞ |
De plus, Si f admet en a une limite finie et si d est une constante réelle alors la fonction d x f admet une limite en a telle que:
\lim_{x \to a}[d\times f(x)] = d\times \lim_{x \to a}f(x)
Quotient de limites
Ce tableau résume les propriétés que l’on peut utiliser pour multiplier des limites. Soient f et g deux fonctions ayant une limite au point a (a et la limite peuvent être infinis). sgn(a) signifie “signe de a”. La limite de f / g est alors :
Limite de f en a \ Limite de g en a | -∞ | 0 | b | +∞ |
-∞ | Indéterminée | Indéterminée | -sgn(b) x ∞ | Indéterminée |
0 | 0 | Indéterminée | 0 | 0 |
a | 0 | Indéterminée | a / b | 0 |
+∞ | Indéterminée | Indéterminée | sgn(b) x ∞ | Indéterminée |
Composition de limites
Soient a, b et c trois réels et f et g deux fonctions.
Si
\lim_{x \to a }f(x) = b
et
\lim_{x \to b }g(x) = c
Alors
\lim_{x \to a }g(f(x)) = c
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de x^2 e^x
Corrigé : On a, d’une part :
\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty
Et d’autre part :
\lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty
Le produit de ces limites nous donne la limite recherchée : \lim_{x \to +\infty} x^2e^x = + \infty
Exercice 2
Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de x\sqrt{x} - x +1
Corrigé : On factorise par le terme le plus fort :
\begin{array}{ll} x\sqrt{x} - x +1 = x\sqrt{x} \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\right) \end{array}
On a ensuite : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x}= + \infty et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}= 1 .
On conclut donc en faisant le produit de ces limites : \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x} - x +1 = + \infty
Exercice 3
Enoncé : Déterminer la limite en + \infty de \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2}
Corrigé : On factorise par le terme le plus au numérateur et au dénominateur :
\begin{array}{ll} \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2} &=\dfrac{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(4+\frac{3}{x}+\frac{2}{x}\right)}\\ &= \dfrac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{3}{x}+\frac{2}{x}} \end{array}
On a ensuite : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}= 1 et \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}= 1 .
On conclut donc en faisant le quotient de ces limites : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+x+1}{4x^2+3x+2}= \dfrac{1}{4}
Exercices (proposés par Valentin Melot)
Exercice 1 – Echauffement
Déterminer les limites suivantes :
\begin{array}{lll} A &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} 2x^4+2x^2 +3 \\ B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty}e^{2x}+\dfrac{e^x}{x}+x^{17}-2 \\ C &=& \displaystyle \lim_{x \to- \infty} xe^x \\ D &=& \displaystyle \lim_{x \to 0,x>0}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\ \end{array}
Exercice 2 – Factorisations
Déterminer ces limites en l’infini
\begin{array}{lll} E &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} 13x^3 -7x^2 +7x -11\\ F &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty}14e^{-x} +8x^9 -7x^3\\ G &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+17}{x-11} \\ H &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2+7x-5}{11x+2} \\ I &=& \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{11x}-7xe^{3x}+14x-7+e^{-2x}}{7x^{32}e^{10x}-5x^4+1} \\ J &=& \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{xe^x+x^4}{x^2e^x +x^2} \\ \end{array}
Exercice 3 – A tenter en 30 minutes
Calculer, en justifiant soigneusement, les limites suivantes. On indiquera les transformations effectuées, ainisi que les limites de référence et les théorèmes utilisés
\begin{array}{lll} A &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} 2x^2+3 \\ B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x+5}{6x-1} \\ C &=& \displaystyle \lim_{x \to+ \infty} 3e^x + 3x^2+2x-1 \\ D &=& \displaystyle \lim_{x \to - \infty} xe^{2x}-e^{2x}-x^{14}e^{x} -7x \\ E &=& \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} x\sin(x) -\cos(x) \\ F &=& \displaystyle \lim_{x \to 0, x>0} \dfrac{5x^4-7x+\sqrt{x}e^x}{x^5e^{7x}-3\sqrt{x}} \\ G &=& \displaystyle \lim_{x \to 1,x<1} \exp \left( \dfrac{-1}{1-x^2}\right) \\ H &=& \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{-2x^2-x+3}{x-1} \\ I &=& \displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin\left( \dfrac{1}{x^2} \right) \\ J &=& \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{\sqrt{2}-\sqrt{x}} \\ \end{array}
Bonus : Calculer la limite suivante :
K = \lim_{x \to + \infty}\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}
Exercice 4 – Difficile
Calculer les limites suivantes :
\begin{array}{lll} A &=& \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x} \\ \\ B &=& \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x-1}} \\ \\ C &=& \displaystyle \lim_{x \to+ \infty}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x-2}} \\ \end{array}
Pour la question C, on pourra s’appuyer sur une identité remarquable.