Exercice corrigé : Polynômes de Bernoulli

Voici l’énoncé d’un exercice qui définit et permet de montrer des propriétés des polynômes de Bernoulli. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des polynômes et plus précisément dans le sous-chapitre des polynômes classiques. C’est un exercice plutôt de première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Et voici sa correction !

Question 1

On va montrer que la suite de polynômes existe de manière unique par récurrence.

Initialisation : B₀ est bien défini de manière unique
Hérédité :
Montrons d’abord l’unicité puis l’existence
Unicité si existence
On suppose que B_n+1 et C_n+1 conviennent. On a alors B_{n+1} '= C_{n+1}' =n B_n
Ce qui permet d’en déduire qu’il existe une constante K telle que B_{n+1}= C_{n+1}+K

Or,

\begin{array}{l}
K \\
= \displaystyle\int_0^1 K dt \\
= \displaystyle\int_0^1 B_{n+1}(t)-C_{n+1}(t) dt\\
= \displaystyle\int_0^1 B_{n+1}(t) dt-\int_0^1 C_{n+1}(t) dt\\
 =0\end{array}

Donc B_{n+1}= C_{n+1}

Ce qui prouve l’unicité.
Existence
Notons P_n(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k

Posons ensuite

P_{n+1}(X) = (n+1)\sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} X^{k+1} -(n+1) \int_0^1 \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} t^{k+1} dt

Si on dérive :

P_{n+1}'(X) =(n+1) \sum_{k=0}^n a_k X^{k} =(n+1)P_n(X)

Et si on intègre entre 0 et 1 :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1 P_{n+1}(t)dt\\
 =\displaystyle (n+1)\int_0^1 \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} t^{k+1}dt - (n+1)\int_0^1 \sum_{k=0}^n \dfrac{a_k}{k+1} t^{k+1} dt\\
=0
\end{array}

Ce qui correspond bien aux propriétés qu’on recherche. On a donc bien défini les polynômes de Bernoulli

Question 2

Là aussi, montrons le résultat par récurrence. En testant quelques valeurs. On fait la conjecture que :

• Le coefficient dominant de B_n est 1
• Le degré de B_n est n.

Initialisation : B₀ est bien degré 0 et a pour coefficient dominant 1 ce qui est bien ce qu’on cherche

Hérédité :
Si B_n est degré n avec le coefficient dominant défini au dessus on peut l’écrire B_n = X^n + R_n avec R_n de degré au plus n-1.

Dans ce cas, en intégrant B_{n+1}(t) =(n+1) \dfrac{1}{n+1}X^{n+1} + R_{n+1} =X^{n+1} + R_{n+1}

Ce qui conclut l’hérédité et donc cette récurrence.

Question 3

Une fois de plus, nous allons faire une récurrence.
Initialisation : B_0(0) = 1. On a B_0 = 1 = b_0 =\displaystyle \sum_{k=0}^0 \binom{0}{k} b_{0-k} X^k

Hérédité :
On suppose, pour n fixé que B_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_{n-k}X^k

Alors, comme vu pour l’existence :

B_{n+1}  =(n+1) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{b_{n-k}}{k+1}X^{k+1} - (n+1)\int_0^1\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{b_{n-k}}{k+1}t^{k+1} dt

Si on transforme cette expression :

\begin{array}{ll}
B_{n+1} (X)& =\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} {b_{n-k}}X^{k+1} - \int_0^1\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} b_{n-k}t^{k+1} dt\\
&= \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} {b_{n+1-k}}X^{k} +b_{n+1}\\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} {b_{n+1-k}}X^{k}

\end{array}

Avec b_{n+1} =\displaystyle - \int_0^1\sum_{k=0}^n \binom{n+1}{k+1} b_{n-k}t^{k+1} dt

Ce qui conclut l’hérédité et permet d’avoir le résultat voulu

Question 4

Initialisation
On a B_0(X) = 1 =(-1)^0 B_0(1-X)
Ce qui suffit à montrer que l’initialisation est vérifiée

Hérédité :
Posons Q définie par Q(X) = (-1)^{n+1}B_{n+1}(1-X)

Si on dérive

\begin{array}{l}
Q' (X)= - (-1)^{n+1}B_{n+1}'(X) \\
= (n+1)(-1)^nB_n(1-X)\\
=(n+1)B_n(X)\\
 = B_{n+1}'(X)
\end{array}

On en déduit qu’il existe une constante C telle que Q = B_{n+1}+C.
Mais en intégrant et en faisant le changement de variable u = 1-t, on obtient :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1 Q(t) dt \\
=\displaystyle (-1)^{n+1} \int_0^1 B_{n+1}(1-t) dt\\
=\displaystyle -(-1)^{n+1} \int_0^1 B_{n+1}(u)du\\
=0
\end{array}

On en déduit que C=0 et par conséquent, Q = B_n+1 Q = B_{n+1}

Question 5

Et pour cette dernière question, restons sur une récurrence
Initialisation :
Calculons B₁ : \displaystyle B_1(X) = X - \int_0^1 t dt = X -\dfrac{1}{2}.
On calcule la différence pour arriver au résultat voulu :

B_1(X+1) - B_1 (X) = (X+1) - \dfrac{1}{2} - \left(X- \dfrac{1}{2} \right) = 1

Hérédité :
On suppose que B_n(X+1)-B_n(X) = nX^{n-1}
Intégrons cette relation entre 0 et x :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^x B_n(t+1)dt - \int_0^x B_n(t) dt=n \int_0^x t^{n-1}dt\\
\iff\displaystyle \int_1^{x+1} B_n(t)dt - \int_0^x B_n(t) dt=x^n \\
\iff \displaystyle \int_x^{x+1} B_n(t)dt - \int_0^1 B_n(t) dt=x^n \\
\iff \displaystyle \left[ \dfrac{B_n(t)}{n+1} \right]_x^{x+1} =x^n \\
\iff \displaystyle \dfrac{B_n(x+1)}{n+1}-\dfrac{B_n(x)}{n+1} =x^n \\
 \iff \displaystyle B_n(x+1)-B_n(x) =(n+1)x^n \\
\end{array}

Ce qui est bien le résultat voulu. Et voilà pour cet exercice 100% récurrence !

Cet exercice vous a plu ?