Définition

La valeur absolue est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition :

\begin{array}{l}La\ valeur\ absolue\ est\ la\ fonction\ définie\ sur\ \mathbb{R}\ par\ \\
f\left(x\right)\ =\ \left\{\begin{matrix}x&si\ x\ \ge\ 0\\
-x&si\ x\ <\ 0\end{matrix}\right.\end{array}

Et voilà à quoi ressemble sa courbe :

Valeur absolue
La valeur absolue

Propriétés

On a la positivité de la valeur absolue :

\forall x \in\R, |x|\geq 0

La propriété suivante est aussi vraie :

\forall x\in\mathbb{R},\ |x|=|-x|

La fonction valeur absolue est donc une fonction paire
On a aussi la propriété suivante : |x| = max(x,-x)

Enonçons aussi que

|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 

De plus, on a cette liste de propriétés à bien connaitre :

\begin{array}{l}\forall \ x,y\ \in \mathbb{R},\ \\
\left|x\right|\left|y\right|\ =\ \left|xy\right|\\
Si\ y\ \ne 0,\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\frac{x}{y}\right|\\
\sqrt{a^2}\ =\left|a\right|\end{array}

On a aussi ces propriétés qui aident à la résolution d’inégalités et d’égalités

\begin{array}{l}\forall x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}_+,\ \left|x\right|\ \le\ y\ \Leftrightarrow\ -y\ \le\ x\ \le\ y\\ \\
\forall x,y \in\mathbb{R},\ x\ \le\ \left|y\right|\ \Leftrightarrow\ x\ \le y\ \ ou\ -x\ \ge\ y\\
\\ 
\forall x,y \in \R, |x|\ =\ |y|\  \Leftrightarrow\  x = y\  ou\ x=-y\end{array}

Valeur absolue et géométrie

|x-y| représente la distance entre x et y.

Inégalité triangulaire

Voici l’inégalité triangulaire :

\forall x , y \in \R, |x+y| \leq |x| + |y|

Exemple :
|3 -2| = 1 ≤ |3| + |2| = 5

Elle se généralise à n termes :

\forall x_1, \ldots, x_n \in \R, \left| \sum_{i=1}^n x_i \right| \leq \sum_{i=1}^n |x_i|

On a aussi l’inégalité triangulaire de deuxième espèce, appelée aussi inégalité triangulaire inversée

\forall x , y \in \R, |x-y| \geq ||x| - |y||

Exemple

Exemple 1
Résoudre |x+2| ≤ 4
D’après l’inégalité vu dans les propriétés, cela est équivalent à

\begin{array}{l}-4\ \le\ x+2\le\ 4\\
\Leftrightarrow\ -4\ \le x+2\ et\ x+2\ \le\ 4\\
\Leftrightarrow\ -6\ \le\ x\ et\ x\ \le\ 2\\
\Leftrightarrow\ x\ \in\left[-6;2\right]\end{array}

Exemple 2
Résoudre |x+2| = |x+5|. D’après le résultat sur les égalités dans les propriétés, on obtient :

\begin{array}{l}x+2\ =\ x+5\ ou\ x+2\ =\ -\left(x+5\right)\\ \\
\Leftrightarrow\ 2\ =\ 5\ ou\ 2x\ =-7\ \\ \\
\Leftrightarrow\ 2\ =\ 5\ ou\ x\ =\ -\frac{7}{2}\end{array}

2 = 5 n’étant pas une solution valide, seule la deuxième solution est correcte.

Exercices

Exercice 1
Résoudre les inéquation suivantes :

\begin{array}{l}\left|x+3\right|\le4\\
\left|2x+5\right|\ge7\\
\left|4x+6\right|\le-1\\
\left|5x+3\right|\le\left|6x+4\right|\\
2\ \le\left|x+1\right|\le3\end{array}

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes

\begin{array}{l}\left|x+3\right|\ =\ 9\\
\left|x+4\right|\ =\ \left|2x+1\right|\\
\left|x+2\right|\ =-2\end{array}

Exercice 3
On cherche à résoudre l’équation |x+2| + |2x+8| = 8

  1. Compléter selon les valeurs de x le tableau suivant :
x appartient à …]-∞;-4]]-4;-2]]-2;+∞[
|x+2| sans valeur absolue
|2x+8| sans valeur absolue
|x+2| + |2x+8| sans valeur absolue

2. Résoudre grâce aux résultats du tableau l’équation

Exercice 4
Soit f la fonction définie sur les réels par 6-4|x|

  1. Etudier la parité de f
  2. Tracer f

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