Valeur absolue : Cours et exercices

Tout savoir sur la valeur absolue : Définition, propriété, exemples et exercices, la valeur absolue n’aura plus de secret pour vous.
Valeur absolue

Définition

La valeur absolue est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition. La valeur absolue est la fonction définie sur \R par

f\left(x\right)\ =\ \left\{\begin{matrix}x&\text{si }x \ge 0\\
-x&\text{si } x < 0\end{matrix}\right.

C’est donc la combinaisons de 2 fonctions affines.

Et voilà sa représentation sur une courbe :

Valeur absolue
La valeur absolue

Propriétés

  • On a la positivité de la valeur absolue \forall x \in\R, |x|\geq 0
  • La propriété suivante est aussi vraie : \forall x\in\mathbb{R},\ |x|=|-x|
  • La fonction valeur absolue est donc une fonction paire
  • On a aussi la propriété suivante : |x| = \max(x,-x)

Enonçons aussi que |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0
De plus, on a cette liste de propriétés à bien connaitre :

\begin{array}{l}\forall \ x,y\ \in \mathbb{R},\ \\
\left|x\right|\left|y\right|\ =\ \left|xy\right|\\
Si\ y\ \ne 0,\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\frac{x}{y}\right|\\
\sqrt{a^2}\ =\left|a\right|\end{array}

On a aussi ces propriétés qui aident à la résolution d’inégalités et d’égalités

\begin{array}{l}\forall x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}_+,\ \left|x\right|\ \le\ y\ \Leftrightarrow\ -y\ \le\ x\ \le\ y\\ \\
\forall x,y \in\mathbb{R},\ x\ \le\ \left|y\right|\ \Leftrightarrow\ x\ \le y\ \ ou\ -x\ \ge\ y\\
\\ 
\forall x,y \in \R, |x|\ =\ |y|\  \Leftrightarrow\  x = y\  ou\ x=-y\end{array}

Valeur absolue et géométrie

|x-y| représente la distance entre x et y.

Inégalité triangulaire

Voici l’inégalité triangulaire :

\forall x , y \in \R, |x+y| \leq |x| + |y|

Exemple :
|3 -2| = 1 \leq |3| + |2| = 5

Si vous voulez plus de détails, allez voir notre cours sur les inégalités triangulaires.

Exemple

Exemple 1
Résoudre |x+2| \leq 4
D’après l’inégalité vu dans les propriétés, cela est équivalent à

\begin{array}{ll}&-4 \le x+2\le 4\\
\Leftrightarrow& -4 \le x+2\text{ et } x+2 \le\ 4\\
\Leftrightarrow &-6 \le x\text{ et }  x \le 2\\
\Leftrightarrow& x \in\left[-6;2\right]\end{array}

Exemple 2
Résoudre |x+2| = |x+5|. D’après le résultat sur les égalités dans les propriétés, on obtient :

\begin{array}{ll}&x+2\ =\ x+5\text{ ou } x+2 = -\left(x+5\right)\\ 
\Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou } 2x =-7 \\ 
\Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou } x = -\dfrac{7}{2}\end{array}
2 = 5 n’étant pas une solution valide, seule la deuxième solution est correcte.

Exercices

Exercice 1
Résoudre les inéquation suivantes :

\begin{array}{l}
\left|x+3\right|\le4\\
\left|2x+5\right|\ge7\\
\left|4x+6\right|\le-1\\
\left|5x+3\right|\le\left|6x+4\right|\\
2\ \le\left|x+1\right|\le3
\end{array}

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes

\begin{array}{l}\left|x+3\right|\ =\ 9\\
\left|x+4\right|\ =\ \left|2x+1\right|\\
\left|x+2\right|\ =-2\end{array}

Exercice 3
On cherche à résoudre l’équation |x+2| + |2x+8| = 8

  1. Compléter selon les valeurs de x le tableau suivant :
x appartient à …]-∞;-4]]-4;-2]]-2;+∞[
|x+2| sans valeur absolue
|2x+8| sans valeur absolue
|x+2| + |2x+8| sans valeur absolue

2. Résoudre grâce aux résultats du tableau l’équation

Exercice 4
Soit f la fonction définie sur les réels par 6-4|x|

  1. Etudier la parité de f
  2. Tracer f

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