Valeur absolue : Cours et exercices

Tout savoir sur la valeur absolue : Définition, propriété, exemples et exercices, la valeur absolue n’aura plus de secret pour vous.

24 mars 2021

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Table des matières

Définition

La valeur absolue est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition. La valeur absolue est la fonction définie sur $\R$ par

f\left(x\right)\ =\ \left\{\begin{matrix}x&\text{si }x \ge 0\\ -x&\text{si } x < 0\end{matrix}\right.

C’est donc la combinaisons de 2 fonctions affines.

Et voilà sa représentation sur une courbe :

Enonçons aussi que $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
De plus, on a cette liste de propriétés à bien connaitre :

\begin{array}{l}\forall \ x,y\ \in \mathbb{R},\ \\ \left|x\right|\left|y\right|\ =\ \left|xy\right|\\ Si\ y\ \ne 0,\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\frac{x}{y}\right|\\ \sqrt{a^2}\ =\left|a\right|\end{array}

On a aussi ces propriétés qui aident à la résolution d’inégalités et d’égalités

\begin{array}{l}\forall x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}_+,\ \left|x\right|\ \le\ y\ \Leftrightarrow\ -y\ \le\ x\ \le\ y\\ \\ \forall x,y \in\mathbb{R},\ x\ \le\ \left|y\right|\ \Leftrightarrow\ x\ \le y\ \ ou\ -x\ \ge\ y\\ \\ \forall x,y \in \R, |x|\ =\ |y|\ \Leftrightarrow\ x = y\ ou\ x=-y\end{array}

|x-y|

représente la distance entre x et y.

\forall x , y \in \R, |x+y| \leq |x| + |y|

Exemple :
$|3 -2| = 1 \leq |3| + |2| = 5$

Si vous voulez plus de détails, allez voir notre cours sur les inégalités triangulaires.

Exemple 1
Résoudre $|x+2| \leq 4$
D’après l’inégalité vu dans les propriétés, cela est équivalent à

\begin{array}{ll}&-4 \le x+2\le 4\\ \Leftrightarrow& -4 \le x+2\text{ et } x+2 \le\ 4\\ \Leftrightarrow &-6 \le x\text{ et } x \le 2\\ \Leftrightarrow& x \in\left[-6;2\right]\end{array}

Exemple 2
Résoudre $|x+2| = |x+5|$ . D’après le résultat sur les égalités dans les propriétés, on obtient :

\begin{array}{ll}&x+2\ =\ x+5\text{ ou } x+2 = -\left(x+5\right)\\ \Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou } 2x =-7 \\ \Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou } x = -\dfrac{7}{2}\end{array}

2 = 5

n’étant pas une solution valide, seule la deuxième solution est correcte.

Exercice 1
Résoudre les inéquation suivantes :

\begin{array}{l} \left|x+3\right|\le4\\ \left|2x+5\right|\ge7\\ \left|4x+6\right|\le-1\\ \left|5x+3\right|\le\left|6x+4\right|\\ 2\ \le\left|x+1\right|\le3 \end{array}

Exercice 2
Résoudre les équations suivantes

\begin{array}{l}\left|x+3\right|\ =\ 9\\ \left|x+4\right|\ =\ \left|2x+1\right|\\ \left|x+2\right|\ =-2\end{array}

Exercice 3
On cherche à résoudre l’équation |x+2| + |2x+8| = 8

2. Résoudre grâce aux résultats du tableau l’équation

Exercice 4
Soit f la fonction définie sur les réels par $6-4|x|$

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