Dans cet article, nous allons vous présenter une fonction que l’on croise souvent dans les études supérieures : la fonction sinus cardinal. C’est ce que nous allons vous présenter !
Définition de la fonction sinus cardinal
On définit la fonction sinus cardinal sur \R^*, notée sinc par
sinc(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}Cette fonction se prolonge par continuité en 0 par
\dfrac{\sin(x)}{x} = \dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} = \sin'(0) = 1On va donc poser sinc(0) = 1 . La fonction sinus cardinal est donc continue, elle est même de classe \mathcal{C}^{\infty} .
Voici sa courbe représentative :
Propriétés
Voici quelques propriétés de la fonction sinus cardinal :
- Elle est paire
- Elle est développable en série entière : sinc(x) = \displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!}
- Ses limites infinies sont : \displaystyle \lim_{x \to - \infty} sinc(x) = \lim_{x \to + \infty} sinc(x) = 0 ce qui est facile à démontrer avec le théorème des gendarmes
Quand on l’intègre sur tout son intervalle de définition, on obtient l’intégrale de Dirichlet :
\int_{- \infty}^{+ \infty} sinc(x) dx = \pi 
