Dans cet article nous allons présenter tout ce qu’il faut savoir sur les identités remarquables, au niveau 3ème mais aussi en terminale et dans le supérieur.

Niveau 3ème

Enoncé des identités remarquables

Il faut connaitre 3 identités remarquables :

  • (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
  • (a-b)2 = a2 + b2 – 2ab
  • (a-b)(a+b) = a2-b2

Et voilà, c’est tout ! Mais voici comment le mettre en application

Application des identités remarquables

Les identités remarquables vont nous aider à développer et factoriser des expressions. Par exemple, on peut développer (x+3)2

\begin{array}{l} 
(x+3)^2 \\
= x^2  + 3^2+ 2 \times x \times 3\\
 = x^2 + 6 x + 9 
\end{array}

Sans les identités remarquables, on aurait quand même pu développer cette expression, voici comment on aurait fait :

\begin{array}{l}
(x+3)^2 \\
= (x+3)(x+3)\\ 
= x^2 + 3x + 3x+ 3^2  \\
= x^2 + 6x + 9 
\end{array}

L’intérêt est donc de simplifier les calculs ! Voici un autre exemple :

(2x-5) ^2  =(2x)^2 +5^2-2\times 2x\times 5 = 4x^2 -20x +25 

Et puis on peut même faire du calcul mental, exemple ici avec la troisième identité remarquable (pour voir plus d’exemples, allez sur cet article) :

51 \times 49 = (50-1)(50+1) =50^2 - 1^2  = 2500-1 = 2499

On peut aussi faire des factorisations, voici l’une des plus connus utilisant la première identité :

x^2 + 2x+1 =  x^2  + 1^2+ 2\times x \times 1 = (x+1)^2 

De même en utilisant la deuxième identité :

x^2 - 2x+1 =  x^2  + 1^2- 2\times x \times 1 = (x-1)^2 

Et voici un autre exemple, cette fois un peu plus compliqué :

x^2 +10x+25 = x^2 + 5^2 + 2 \times x \times 5 = (x+5)^2 

Voici aussi un exemple utilisant la dernière identité :

9x^2 - 49 = (3x)^2 - 7^2 = (3x-7)(3x+7)

Vous souhaitez vous entrainer plus ? Voici quelques exercices !

Exercices

  1. Développer (10x – 5)2
  2. Développer (4x+3)2
  3. Développer (5x+6y)2
  4. Développer (-2x+6y)2
  5. Développer (3x-8)(3x+8)
  6. Factoriser x2+4x+4
  7. Factoriser 9x2-30x+25
  8. Factoriser 4x2+28x+49
  9. Factoriser 16x2 – 64

Niveau terminale – supérieur

Nous allons voir ici comment généraliser les identités vues plus haut. Tout d’abord à l’aide du binôme de Newton, on obtient les deux identités suivantes :

\begin{array}{l}
(a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^kb^{n-k}\\
(a-b)^n =(a+(-b))^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k(-b)^{n-k}
\end{array}

On peut ensuite généraliser la troisième identité, de deux manières :

\begin{array}{l}
a^n - b^n = (a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k} \\
a^n-b^n = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} (a - w^kb)\\
\text{avec } w = e^{\frac{2ik\pi}{n}} \text{ racine n-ième de l'unité}
\end{array}

La première égalité se démontre assez facilement par récurrence ou en utilisant astucieusement les formules des suites géométriques. Quant à la seconde égalité, elle se démontre en utilisant la théorie des nombres complexes et en résolvant l’équation an = bn qui a n solutions.

Et voici maintenant une autre généralisation de la troisième identité, valable uniquement lorsque n est impair :

\begin{array}{l}
a^n + b^n = (a^n - (-1)^nb^n)\  [(-1)^n = -1 \text{ car n est impair}] \\
a^n + b^n = (a- (-b)^n )\\ 
a^n + b^n = (a- (-b) ) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^k(-b)^{n-1-k}\\
a^n + b^n = (a+b ) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^k(-b)^{n-1-k}
\end{array}

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