Borne supérieure, borne inférieure : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce que la borne supérieure ? Découvrez-le dans cet article qui présente cette notion à travers ses principales propriétés et des exercices corrigés.
Borne supérieure

La borne supérieure et borne inférieure, souvent abrégée en borne sup, borne inf, sont deux notions qui interviennent lorsqu’on étudie les nombres réels en analyse.

Prérequis

Définition

Soit E un ensemble partiellement ordonnée et F un sous-ensemble de E. La borne supérieure, si elle existe, est le plus petit des majorant de F . On la note M = \sup(F) . Elle vérifie ces deux conditions nécessaires et suffisantes :

  • C’est un majorant : \forall x \in F, M \geq x
  • C’est le plus petit des majorants. Si y est un majorant de F alors y \geq M

On a bien sûr une définition analogue avec borne inférieure, notée m = \inf(F) :

  • C’est un minorant : \forall x \in F, m \leq x
  • C’est le plus grand des minorants. Si y est un minorant de F alors y \leq m

Borne supérieure pour les réels

Dans le cas des réels, on peut écrire la seconde propriété autrement, on définira la borne supérieure comme :

  • C’est un majorant : \forall x \in F, M \geq x
  • C’est le plus petit des majorants : \forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, x > M - \varepsilon

La seconde propriété implique qu’on peut s’approcher de lui autant qu’on veut, et donc le dépasser en rajoutant un tout petit \varepsilon

Propriété de la borne supérieure

Un ensemble E possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide majorée de E possède une borne supérieure. Les réels possèdent cette propriété, ce n’est pas le cas pour les rationnels.

Propriétés

Voici quelques propriétés des bornes supérieures et inférieures. Soient A et B deux sous-ensembles du même ensemble :

  • \inf(A) \leq \sup(A)
  • \sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B)
  • \inf(A+B) \geq \inf(A) + \inf(B)
  • \displaystyle \sup_{i \in I} (\sup_{ j\in J} (u_{i,j}))=\sup_{j \in J} (\sup_{ i\in I} (u_{i,j})) . C’est la propriété d’associativité de la borne supérieure.
  • Bien évidemment, \displaystyle \inf_{i \in I} (\inf_{ j\in J} (u_{i,j}))=\inf_{j \in J} (\inf_{ i\in I} (u_{i,j})) . Par contre, c’est généralement faux si on mélange inf et sup.
  • Sous réserve d’existence, A \subset B \Rightarrow \sup(A) \leq \sup(B) et A \subset B \Rightarrow \inf(A) \geq \inf(B)

Exercices corrigés

Exercice 195

Enoncé :

Calcul de sup avec cos et sin

Corrigé :

En fait cet exercices est surtout un exercice nécessitant de bien connaitre les propriétés de sinus et cosinus. Voici l’astuce d’écriture :

a \cos(x)+b \sin(x) = \sqrt{a^2+b^2} \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x)+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x) \right)

Or, on a \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1 .

Alors il existe \varphi tel que \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos(\varphi); \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin( \varphi) . On a ainsi :

\begin{array}{ll}
&a \cos(x)+b \sin(x) \\
=& \sqrt{a^2+b^2} \left(\cos(\varphi) \cos(x)+\sin(\varphi) \sin(x)\right) \\
=&\sqrt{a^2+b^2}  \cos(x - \varphi)
\end{array}

D’où \displaystyle \sup_{x \in \R} a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{a^2+b^2}

Exercice 454

Enoncé :

Borne supérieure d'une suite

Corrigé :

Posons f : x \mapsto x^{\frac{1}{x}} . f est définie sur les réels strictement positifs et notons u_n = n^{\frac{1}{n}}. On a f (x) = \exp\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right). f est dérivable sur cet ensemble, avec

f'(x) = \dfrac{1- \ln(x)}{x^2} \exp\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right)

Donc f’ s’annule en e et f'(x) > 0 \iff x < e . Ainsi, le maximum pour f est atteint en e. Or, 2 < e <3 donc le sup est atteint pour notre suite pour n = 2 ou n = 3.

Or, u_2 = \sqrt{2} \approx 1,414 et u_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1,442 > u_2 . Ainsi, \displaystyle \sup_{n \in \N} n^{\frac{1}{n}} = \sqrt[3]{3}

Exercice 629

Enoncé :

Sup et inf d'un ensemble

Corrigé :

On peut noter u_n = \dfrac{1}{n}+(-1)^n . Regardons les termes pairs et les termes impairs. On a :

  • u_{2n} = \dfrac{1}{2n}+1 sous-suite décroissante dont le sup est 2 et l’inf est 1 (sa limite)
  • u_{2n+1} = \dfrac{1}{2n+1}-1 sous-suite décroissante dont le sup est \dfrac{1}{2} et l’inf est -1 (sa limite)

Donc si on recolle les morceaux :

  • \displaystyle \sup_{n \in \N^*} \dfrac{1}{n}+(-1)^n = 2
  • \displaystyle \inf_{n \in \N^*} \dfrac{1}{n}+(-1)^n = -1

Exercice 41

Enoncé :

Inf de sup d'une suite

Corrigé (en vidéo) :

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