La borne supérieure et borne inférieure, souvent abrégée en borne sup, borne inf, sont deux notions qui interviennent lorsqu’on étudie les nombres réels en analyse.
Prérequis
Définition
Soit E un ensemble partiellement ordonnée et F un sous-ensemble de E. La borne supérieure, si elle existe, est le plus petit des majorant de F . On la note M = \sup(F) . Elle vérifie ces deux conditions nécessaires et suffisantes :
- C’est un majorant : \forall x \in F, M \geq x
- C’est le plus petit des majorants. Si y est un majorant de F alors y \geq M
On a bien sûr une définition analogue avec borne inférieure, notée m = \inf(F) :
- C’est un minorant : \forall x \in F, m \leq x
- C’est le plus grand des minorants. Si y est un minorant de F alors y \leq m
Borne supérieure pour les réels
Dans le cas des réels, on peut écrire la seconde propriété autrement, on définira la borne supérieure comme :
- C’est un majorant : \forall x \in F, M \geq x
- C’est le plus petit des majorants : \forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, x > M - \varepsilon
La seconde propriété implique qu’on peut s’approcher de lui autant qu’on veut, et donc le dépasser en rajoutant un tout petit \varepsilon
Propriété de la borne supérieure
Un ensemble E possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide majorée de E possède une borne supérieure. Les réels possèdent cette propriété, ce n’est pas le cas pour les rationnels.
Propriétés
Voici quelques propriétés des bornes supérieures et inférieures. Soient A et B deux sous-ensembles du même ensemble :
- \inf(A) \leq \sup(A)
- \sup(A+B) \leq \sup(A) + \sup(B)
- \inf(A+B) \geq \inf(A) + \inf(B)
- \displaystyle \sup_{i \in I} (\sup_{ j\in J} (u_{i,j}))=\sup_{j \in J} (\sup_{ i\in I} (u_{i,j})) . C’est la propriété d’associativité de la borne supérieure.
- Bien évidemment, \displaystyle \inf_{i \in I} (\inf_{ j\in J} (u_{i,j}))=\inf_{j \in J} (\inf_{ i\in I} (u_{i,j})) . Par contre, c’est généralement faux si on mélange inf et sup.
- Sous réserve d’existence, A \subset B \Rightarrow \sup(A) \leq \sup(B) et A \subset B \Rightarrow \inf(A) \geq \inf(B)
Exercices corrigés
Exercice 195
Enoncé :
Corrigé :
En fait cet exercices est surtout un exercice nécessitant de bien connaitre les propriétés de sinus et cosinus. Voici l’astuce d’écriture :
a \cos(x)+b \sin(x) = \sqrt{a^2+b^2} \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x)+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x) \right)Or, on a \left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1 .
Alors il existe \varphi tel que \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos(\varphi); \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin( \varphi) . On a ainsi :
\begin{array}{ll}
&a \cos(x)+b \sin(x) \\
=& \sqrt{a^2+b^2} \left(\cos(\varphi) \cos(x)+\sin(\varphi) \sin(x)\right) \\
=&\sqrt{a^2+b^2} \cos(x - \varphi)
\end{array}D’où \displaystyle \sup_{x \in \R} a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{a^2+b^2}
Exercice 454
Enoncé :
Corrigé :
Posons f : x \mapsto x^{\frac{1}{x}} . f est définie sur les réels strictement positifs et notons u_n = n^{\frac{1}{n}}. On a f (x) = \exp\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right). f est dérivable sur cet ensemble, avec
f'(x) = \dfrac{1- \ln(x)}{x^2} \exp\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right)Donc f’ s’annule en e et f'(x) > 0 \iff x < e . Ainsi, le maximum pour f est atteint en e. Or, 2 < e <3 donc le sup est atteint pour notre suite pour n = 2 ou n = 3.
Or, u_2 = \sqrt{2} \approx 1,414 et u_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1,442 > u_2 . Ainsi, \displaystyle \sup_{n \in \N} n^{\frac{1}{n}} = \sqrt[3]{3}
Exercice 629
Enoncé :
Corrigé :
On peut noter u_n = \dfrac{1}{n}+(-1)^n . Regardons les termes pairs et les termes impairs. On a :
- u_{2n} = \dfrac{1}{2n}+1 sous-suite décroissante dont le sup est 2 et l’inf est 1 (sa limite)
- u_{2n+1} = \dfrac{1}{2n+1}-1 sous-suite décroissante dont le sup est \dfrac{1}{2} et l’inf est -1 (sa limite)
Donc si on recolle les morceaux :
- \displaystyle \sup_{n \in \N^*} \dfrac{1}{n}+(-1)^n = 2
- \displaystyle \inf_{n \in \N^*} \dfrac{1}{n}+(-1)^n = -1
Exercice 41
Enoncé :
Corrigé (en vidéo) :
