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Cosinus et Sinus
Fiches aide-mémoire Révisions du bac

Toutes les propriétés des sinus et cosinus

Cet article a pour but de regrouper la plupart des formules sur les sinus et cosinus. Un article à mettre dans vos favoris et à consulter chaque fois que vous en avez besoin !
Il fait évidemment le lien avec le cours sur les sinus et le cosinus.

Formules de base

\forall \alpha \in \R \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline \\
\cos(\alpha + 2n \pi) = \cos(\alpha) & \sin(\alpha + 2n\pi) = \sin(\alpha)  \\\\
\hline\\
\cos(-\alpha) = \cos(\alpha) & \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \\\\
 \hline\\
\cos(\alpha+\pi) = -\cos(\alpha)& \sin(\alpha+\pi) = -\sin(\alpha) \\ \\
\hline\\
\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)& \sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha) \\\\
\hline\\
\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) & \sin(\alpha +\frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha)  \\\\
\hline\\
\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha ) = \sin(\alpha) & \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)  \\\\
\hline \end{array}

Formules de Moivre et d’Euler

Cette partie fait le lien avec le formulaire sur les complexes, qui est lui aussi à mettre dans vos favoris !

Formule de Moivre

Voici ce que la formule de Moivre affirme :

\forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)

Formule d’Euler

La formule d’Euler, qui est une relation reliant cosinus, sinus et exponentielle, est la suivante :

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) 

On en déduit la formule suivante, qui met en relation, e, i, π et -1, en prenant x = π dans l’équation au-dessus

e^{i\pi} = -1

Formules d’addition

Voici toutes les formules dites d’addition du sinus et du cosinus :

\begin{array}{rcr}\cos\left(a+b\right)& =& \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)\ -\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)\\
\cos\left(a-b\right)& =& \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)\ +\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)\\
\sin\left(a+b\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)\ +\ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\\
\sin\left(a-b\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)\ -\ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\end{array}

On en déduit, en prenant a = b, les formule de duplication :

\begin{array}{rcl}\cos(2a)&=& \cos^2(a)\ -\ \sin^2\left(a\right)\\
\cos\left(2a\right)& =& 2\cos^2\left(a\right)\ -\ 1\\
\cos\left(2a\right)& =& 1\ -\ 2\ \sin^2\left(a\right)\\
\sin\left(2a\right)& =& 2\sin\left(a\right)\cos\left(a\right)\end{array}

En renversant les lignes 2 et 3, on obtient les formules dites de linéarisation :

\begin{array}{rcr}\cos^2\left(a\right) &=& \dfrac{1+\cos\left(2a\right)}{2}\\
\sin^2\left(a\right)&= &\dfrac{1-\cos\left(2a\right)}{2}\end{array}

Formules produit-somme

Voici la liste des formules transformant les produits de cosinus et de sinus en somme

\begin{array}{rcr}
\cos\left(a\right)\cos\left(b\right)& =&\dfrac{\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)}{2}\\
\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)}{2}\\
\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)}{2}\\
\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)-\sin\left(a-b\right)}{2}\end{array}

La quatrième formule est la même que la troisième en inversant a et b.

Formules somme-produit

Voici la liste des formules transformant les sommes de cosinus et de sinus en produits

\begin{array}{r c r}\cos\left(a\right)+\cos\left(b\right) &=& 2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ 
\cos\left(a\right)-\cos\left(b\right)& =& -2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ 
\sin\left(a\right)+\sin\left(b\right) & = &2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ 
\sin\left(a\right)-\sin\left(b\right) &= &2\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\end{array}

Formule du demi-angle de la tangente

Si on pose

u = \tan \left( \dfrac{t}{2} \right)

Alors on a :

\begin{array}{rcr}
\cos t &=& \dfrac{1-u^2}{1+u^2}\\ \\
\sin t &=& \dfrac{2u}{1+u^2}\\ \\
\tan t &=& \dfrac{2u}{1-u^2}
\end{array}

Exemples

Exemple 1

\text{Calculer } \cos\left(\frac{\pi}{12} \right)

On remarque d’abord que

\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}

Puis on en déduit à l’aide des formules d’addition que

\begin{array}{l}\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\
=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\ +\ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\
=\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\
= \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\sqrt{3}\right)\\ \\
=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{array}

Exemple 2
A l’aide du résultat de l’exemple précédent, en déduire

\sin\left(\frac{\pi}{12}\right);\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right);\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)

Pour le premier, on utilise que la somme des carrés de cosinus et de sinus vaut 1 :

\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R},\cos^2\left(x\right)\ + \sin^2\left(x\right) = 1\\ \\
\sin^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ =1-\cos^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ \\ \\
= 1\ - \left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^2\\ \\
= 1\ - \dfrac{2+6+\sqrt{12}}{16}\\ \\
= 1\ -\dfrac{8+2\sqrt{3}}{16}\\ \\
=\dfrac{8-2\sqrt{3}}{16}\\ \\
\text{On sait que } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)>0\\ \\
\text{Donc } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ = \dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{3}}}{4}\\ \\
\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}

Ensuite, on utilise les formules vues plus tôt :

\begin{array}{l}\cos\left(\frac{7pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\ =\ -\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\ =\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\end{array}

Exercices

Exercice 1
Calculer les valeurs suivantes, on pourra utiliser les formules de base de la première partie

\begin{array}{l}\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{40\pi}{3}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{99\pi}{2}\right)\end{array}\begin{array}{l}\sin\left(-\frac{26\pi}{4}\right)\\ \\
\cos\left(\frac{59\pi}{6}\right)\\ \\
\sin\left(\frac{53\pi}{6}\right)\end{array}

Exercice 2
Simplifier les sommes suivantes :

\begin{array}{l}\cos(−x)\ -\ 2\cos(3\pi−x)\ +\ \cos(5\pi+x)\\ \\
\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{10\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{13pi}{7}\right)\\ \\
\cos\left(\frac{pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)\end{array}

Exercice 3
Démontrer les égalités suivantes :

\begin{array}{l}\cos\left(3a\right)\ =\ 4\cos^3\left(a\right)\ -\ 3\cos\left(a\right)\\ \\
\sin\left(3a\right)\ =\ -4\sin^3\left(a\right)\ +\ 3\sin\left(a\right)\\ \\
\cos\left(a\right)\cos\left(2a\right)\cos\left(4a\right)=\ \frac{\sin\left(8a\right)}{8\sin\left(a\right)}\end{array}

Exercice 4
Montrez que pour tout x réel

\sin\left(x\right)+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{4pi}{3}\right)=0

On peut faire pareil avec cosinus

Exercice 5
Résoudre dans ]-π,π[ l’équation suivante :

\frac{1}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x)  = \frac{1}{2}

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