Cet article a pour but de regrouper la plupart des formules de trigonométrie, celles sur les sinus et cosinus. Un article à mettre dans vos favoris et à consulter chaque fois que vous en avez besoin !
Il fait évidemment le lien avec le cours sur les sinus et le cosinus.
Formules de base
\forall \alpha \in \R \\ \begin{array}{|c|c|} \hline \\ \cos(\alpha + 2n \pi) = \cos(\alpha) & \sin(\alpha + 2n\pi) = \sin(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) & \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(\alpha+\pi) = -\cos(\alpha)& \sin(\alpha+\pi) = -\sin(\alpha) \\ \\ \hline\\ \cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)& \sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) & \sin(\alpha +\frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha) \\\\ \hline\\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha ) = \sin(\alpha) & \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha) \\\\ \hline \end{array}
Formules de Moivre et d’Euler
Cette partie fait le lien avec le formulaire sur les complexes, qui est lui aussi à mettre dans vos favoris !
Formule de Moivre
Voici ce que la formule de Moivre affirme :
\forall x \in \R, (\cos(x) + i \sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)
Formule d’Euler
La formule d’Euler, qui est une relation reliant cosinus, sinus et exponentielle, est la suivante :
e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)
On en déduit la formule suivante, qui met en relation, e, i, π et -1, en prenant x = π dans l’équation au-dessus
e^{i\pi} = -1
Formules d’addition
Voici toutes les formules dites d’addition du sinus et du cosinus :
\begin{array}{rcr}\cos\left(a+b\right)& =& \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)\ -\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)\\ \cos\left(a-b\right)& =& \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)\ +\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)\\ \sin\left(a+b\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)\ +\ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\\ \sin\left(a-b\right)& =& \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)\ -\ \sin\left(b\right)\cos\left(a\right)\end{array}
On en déduit, en prenant a = b, les formule de duplication :
\begin{array}{rcl}\cos(2a)&=& \cos^2(a)\ -\ \sin^2\left(a\right)\\ \cos\left(2a\right)& =& 2\cos^2\left(a\right)\ -\ 1\\ \cos\left(2a\right)& =& 1\ -\ 2\ \sin^2\left(a\right)\\ \sin\left(2a\right)& =& 2\sin\left(a\right)\cos\left(a\right)\end{array}
En renversant les lignes 2 et 3, on obtient les formules dites de linéarisation :
\begin{array}{rcr}\cos^2\left(a\right) &=& \dfrac{1+\cos\left(2a\right)}{2}\\ \sin^2\left(a\right)&= &\dfrac{1-\cos\left(2a\right)}{2}\end{array}
Formules produit-somme
Voici la liste des formules transformant les produits de cosinus et de sinus en somme
\begin{array}{rcr} \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)& =&\dfrac{\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)}{2}\\ \sin\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\cos\left(a-b\right)-\cos\left(a+b\right)}{2}\\ \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)}{2}\\ \cos\left(a\right)\sin\left(b\right)& =& \dfrac{\sin\left(a+b\right)-\sin\left(a-b\right)}{2}\end{array}
La quatrième formule est la même que la troisième en inversant a et b.
Formules somme-produit
Voici la liste des formules transformant les sommes de cosinus et de sinus en produits
\begin{array}{r c r}\cos\left(a\right)+\cos\left(b\right) &=& 2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ \cos\left(a\right)-\cos\left(b\right)& =& -2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ \sin\left(a\right)+\sin\left(b\right) & = &2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\\ \sin\left(a\right)-\sin\left(b\right) &= &2\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\end{array}
Formule du demi-angle de la tangente
Si on pose
u = \tan \left( \dfrac{t}{2} \right)
Alors on a :
\begin{array}{rcr} \cos t &=& \dfrac{1-u^2}{1+u^2}\\ \\ \sin t &=& \dfrac{2u}{1+u^2}\\ \\ \tan t &=& \dfrac{2u}{1-u^2} \end{array}
Exemples
Exemple 1
\text{Calculer } \cos\left(\frac{\pi}{12} \right)
On remarque d’abord que
\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}
Puis on en déduit à l’aide des formules d’addition que
\begin{array}{l}\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\ =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\ +\ \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\ =\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\sqrt{3}\right)\\ \\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{array}
Exemple 2
A l’aide du résultat de l’exemple précédent, en déduire
\sin\left(\frac{\pi}{12}\right);\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right);\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)
Pour le premier, on utilise que la somme des carrés de cosinus et de sinus vaut 1 :
\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R},\cos^2\left(x\right)\ + \sin^2\left(x\right) = 1\\ \\ \sin^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ =1-\cos^2\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ \\ \\ = 1\ - \left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^2\\ \\ = 1\ - \dfrac{2+6+2\sqrt{12}}{16}\\ \\ = 1\ -\dfrac{8+4\sqrt{3}}{16}\\ \\ =\dfrac{8-4\sqrt{3}}{16}\\ \\ =\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\\ \\ \text{On sait que } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)>0\\ \\ \text{Donc } \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\ = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\\ \\ \end{array}
Ensuite, on utilise les formules vues plus tôt :
\begin{array}{l}\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\ =\ -\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\\ \\ \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\ =\ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\ =\ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\end{array}
Exercices
Exercice 1
Calculer les valeurs suivantes, on pourra utiliser les formules de base de la première partie
\begin{array}{l}\cos\left(-\frac{19\pi}{3}\right)\\ \\ \sin\left(\frac{40\pi}{3}\right)\\ \\ \sin\left(\frac{99\pi}{2}\right)\end{array}\begin{array}{l}\sin\left(-\frac{26\pi}{4}\right)\\ \\ \cos\left(\frac{59\pi}{6}\right)\\ \\ \sin\left(\frac{53\pi}{6}\right)\end{array}
Exercice 2
Simplifier les sommes suivantes :
\begin{array}{l}\cos(−x)\ -\ 2\cos(3\pi−x)\ +\ \cos(5\pi+x)\\ \\ \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{10\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{13pi}{7}\right)\\ \\ \cos\left(\frac{pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)\end{array}
Exercice 3
Démontrer les égalités suivantes :
\begin{array}{l}\cos\left(3a\right)\ =\ 4\cos^3\left(a\right)\ -\ 3\cos\left(a\right)\\ \\ \sin\left(3a\right)\ =\ -4\sin^3\left(a\right)\ +\ 3\sin\left(a\right)\\ \\ \cos\left(a\right)\cos\left(2a\right)\cos\left(4a\right)=\ \frac{\sin\left(8a\right)}{8\sin\left(a\right)}\end{array}
Exercice 4
Montrez que pour tout x réel
\sin\left(x\right)+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{4pi}{3}\right)=0
On peut faire pareil avec cosinus
Exercice 5
Résoudre dans ]-π,π[ l’équation suivante :
\frac{1}{2}\cos(x) +\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) = \frac{1}{2}
Voici nos 10 derniers articles sur le même thème :
- Les formules des surfaces usuelles
- Formulaire : Toutes les formules à connaitre sur les vecteurs
- Les fonctions usuelles
- Les limites usuelles
- Les différents types de suites en mathématiques
- Toutes les propriétés des sinus, cosinus et tangente hyperboliques
- Les formules des volumes usuels
- Les équivalents usuels
- Formulaire : Les sommes usuelles
- Formulaire : Toutes les primitives usuelles