La notion de majorant et de minorant est essentielle lorsqu’on commence à faire de l’analyse. Dans cet article, nous allons présenter ces deux notions jumelles.
Prérequis
Définition de majorant et minorant
Soit (E, \leq ) un ensemble ordonnée. Soit F une partie de E . Prenons x \in E . On a :
- x est un majorant de F si et seulement si \forall y \in F, x \geq y ce qui signifie que x est plus grand que n’importe quel élément de F
- x est un minorant de F si et seulement si \forall y \in F, x \leq y ce qui signifie que x est plus petit que n’importe quel élément de F
Tout ensemble n’a pas forcément de majorant ou de minorant. On a le vocabulaire suivant :
- Majorer signifie trouver un majorant
- Minorer signifie trouver un minorant
- Encadrer signifie trouver un majorant ET un minorant
Exemples
- [0,1] est par exemple majoré par 2
- \N est minoré par 0 ou tout nombre négatif mais n’est pas majoré
- \R n’est ni majoré, ni minoré
Majoration de fonctions classiques
Voici quelques majorations intéressantes à connaitre
- \forall x \in \R, | \sin(x) | \leq |x|
- \forall x > -1, \ln(1+x) \leq x
- \forall x \in \R e^x \geq 1+x
- \forall x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2}, \cos(x) \leq 1 - \dfrac{x^2}{2}\right]
- \forall x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2}, \tan(x) \geq x \right]
Notez que l’inégalité des accroissements finis peut s’avérer utile pour effectuer des encadrements
Exercices corrigés (avec des méthodes)
Exercice 1 : Majorer une somme
Enoncé : Majorer f : x \mapsto 2x^2 +x^3 sur [-5; 1 ]
Corrigé : Une manière simple de majorer une somme est de majorer chacun des termes de la somme.
L’image de x \mapsto 2x^2 est [0,50] un majorant est donc 50. De plus, l’image de x \mapsto x^3 est [-125,1] un majorant est donc 1. On peut donc choisir comme majorant 1+50=51
Exercice 2 : Majorer et minorer un produit
Enoncé : Minorer f : x \mapsto x \cos(x) sur [-5; 10 ]
Corrigé : Pour majorer un produit, attention au signe. Une méthode qui marche systématiquement est de majorer la valeur absolue de chacun des termes. Et pour minorer, on prend l’opposé de ce majorant. On a donc, sur [-5; 10 ] :
- |x| \leq 10
- |\cos(x)| \leq 1
On va donc prendre comme minorant -10.
Notez toutefois que ces majorants ne sont généralement pas optimaux. Par exemple, dans l’exercice 1, on aurait pu faire une étude de fonctions et tracer le tableau de variation pour déterminer un majorant plus fin.
