Savoir comment démontrer une égalité est une question que l’on se pose souvent quand on débute en mathématiques. Voici plusieurs méthode pour réussir ce type de questions
Méthode 1 : Partir du membre de gauche
L’un des méthodes les plus classiques consiste à partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite. Bien sûr, on peut aussi, de manière analogue, décider de partir du membre de droite pour arriver au membre de gauche.
Exemple : Démontrer que (x+1)(x+2) = x^2 +3x+2
Ici, on va partir du membre de gauche pour arriver au membre de droite. Il est en effet plus facile de développer que de factoriser. Voici donc la démonstration :
\begin{array}{ll}
(x+1)(x+2) & = x^2 +1.x + 2x + 2 \times 1 \\
& = x^2 +3x +2
\end{array}On a donc bien démontré l’égalité demandé ce qui donne le bon résultat.
Méthode 2 : En transformant les deux membres
Une bonne méthode pour démontrer une égalité peut être de transformer ses deux membres en démontrant que c’est égal aux deux autres résultats.
Exemple : Démontrer que (x+1)^2 + (x+3)^2 = 2 [(x+2)^2 +1] .
Cette fois, on a deux formes “factorisées” où il peut être difficile de passer de l’une à l’autre. On va donc plutôt développer ces deux formes et voir le résultat obtenu.
On a donc, d’une part :
\begin{array}{ll}
(x+1)^2 + (x+3)^2 &= x^2 +2x+1 +x^2 + 6x + 9 \\
&= 2x^2 +8x + 10
\end{array}Et d’autre part,
\begin{array}{ll}
2 [(x+2)^2 +1] &= 2(x^2 +4x+4+1 ) \\
& = 2(x^2 +4x+5)\\
&= 2x^2 +8x + 10
\end{array}On a donc obtenu, en développant, 2 fois le même résultat, qui est 2x^2 +8x + 10, on a donc bien démontré l’égalité
Méthode 3 : En montrant que la différence est nulle
Une troisième méthode consiste à démontrer que la différence entre les deux membres est nulle. On prend donc le membre de gauche. On lui soustrait le membre de droite et on cherche à montrer que cela fait 0.
Exemple : Montrer que (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4 ab . On va donc faire la différence et montrer qu’elle est nulle :
\begin{array}{ll}
(a+b)^2 - (a-b)^2 -4 ab &= a^2 +2ab +b^2 -(a^2-2ab+b^2) - 4ab\\
&= a^2 +2ab +b^2 -a^2+2ab-b^2 - 4ab\\
&= a^2 -a^2 +b^2 -b^2 +2ab+2ab-4ab\\
&= 0
\end{array}Comme la différence est nulle, ces deux expressions sont bien égales.
Méthode 4 : Elever au carré
Cette méthode est moins souvent utilisable mais pourra parfois vous sauver. Pour montrer que deux expressions sont égales, une solution peut être de montrer que les deux membres sont positifs, puis de les élever au carré et montrer qu’on obtient la même expression.
Exemple : Montrer que 3 +\sqrt{2} = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}}.
Ces deux membres sont bien positifs. Elevons les au carré. Pour le membre de gauche, on a :
\begin{array}{ll}
(3 +\sqrt{2} )^2 &= 3^2 + \sqrt{2}^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{2}\\
&= 9 + 2+ 6\sqrt{2}\\
&= 11+ 6 \sqrt{2}
\end{array}D’autre part,
\left(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\right)^2= 11 + 6\sqrt{2}Comme les deux membres sont positifs et que leurs carrés sont égaux, alors ils sont égaux.
