La forme canonique est une manière d’écrire un trinôme du second degré qui met en évidence le sommet de la parabole associée. Elle est essentielle en seconde et en première pour étudier les variations d’une fonction polynôme, trouver son extremum, ou résoudre une équation du second degré.
Dans cet article, vous trouverez la formule de la forme canonique, sa démonstration par complétion du carré, son interprétation graphique, ainsi que des exercices corrigés pour vous entraîner.
Définition
Un trinôme du second degré peut s’écrire sous trois formes différentes :
La forme développée, la plus courante :
f(x) = ax^2 + bx + c
La forme factorisée, qui fait apparaître les racines (lien vers /equation-du-second-degre/) x_1 et x_2 (quand elles existent) :
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
Et la forme canonique, qui fait apparaître le sommet de la parabole :
\boxed{f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta}où \alpha = -\dfrac{b}{2a} est l’abscisse du sommet et \beta = f(\alpha) est l’ordonnée du sommet.
Formule et démonstration
Partons de la forme développée d’un trinôme pour montrer que tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique :
\begin{array}{ll}
f(x) & = ax^2+bx+c\\
&= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right)+c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c-a\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 +c-\dfrac{b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 +\dfrac{4ac-b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\
&= a(x-\alpha)^2 + \beta
\end{array}Avec \alpha = - \frac{b}{2a} et \beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}
On retient donc les formules :
\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}où \Delta = b^2 - 4ac est le discriminant (lien vers /le-discriminant-dun-polynome-du-second-degre/) du trinôme.
En pratique, il est souvent plus simple de calculer \alpha = -\frac{b}{2a} puis \beta = f(\alpha) plutôt que de retenir la formule de \beta.
Interprétation graphique
La forme canonique f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta donne immédiatement des informations sur la parabole représentant la fonction f :
Le point S(\alpha, \beta) est le sommet de la parabole. C’est le point le plus bas si a > 0 (parabole tournée vers le haut), ou le point le plus haut si a < 0 (parabole tournée vers le bas).
La droite d’équation x = \alpha est l’axe de symétrie de la parabole.
Par exemple, le trinôme f(x) = 2(x - 3)^2 - 8 a pour sommet le point S(3, -8) et pour axe de symétrie la droite x = 3. Comme a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut et f admet un minimum égal à -8, atteint en x = 3.
Méthode : Comment trouver la forme canonique ?
Voici la méthode en 3 étapes pour déterminer la forme canonique de f(x) = ax^2 + bx + c :
Étape 1 : Calculer \alpha
On utilise la formule \alpha = -\dfrac{b}{2a}.
Étape 2 : Calculer \beta
On calcule \beta = f(\alpha), c’est-à-dire qu’on remplace x par \alpha dans l’expression de f(x).
Étape 3 : Écrire la forme canonique
On écrit f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.
Exemple : Soit f(x) = 3x^2 + 12x + 7. On a a = 3, b = 12, c = 7.
- Étape 1 : \alpha = -\dfrac{12}{2 \times 3} = -2.
- Étape 2 : \beta = f(-2) = 3 \times (-2)^2 + 12 \times (-2) + 7 = 12 - 24 + 7 = -5.
- Étape 3 : f(x) = 3(x + 2)^2 - 5.
On peut vérifier en développant : 3(x + 2)^2 - 5 = 3(x^2 + 4x + 4) - 5 = 3x^2 + 12x + 12 - 5 = 3x^2 + 12x + 7. C’est bien l’expression de départ.
Utilisation de la forme canonique
La forme canonique permet de résoudre plusieurs problèmes :
Trouver l’extremum d’un trinôme. Si a > 0, la fonction f admet un minimum égal à \beta, atteint en x = \alpha. Si a < 0, la fonction f admet un maximum égal à \beta, atteint en x = \alpha. Le point (\alpha, \beta) est le sommet de la parabole.
Étudier les variations. La forme canonique permet de dresser le tableau de variations de f sans calculer la dérivée : si a > 0, f est décroissante sur ]-\infty, \alpha] puis croissante sur [\alpha, +\infty[. C’est l’inverse si a < 0.
Résoudre une équation du second degré. En écrivant a(x - \alpha)^2 + \beta = 0, on obtient (x - \alpha)^2 = -\frac{\beta}{a}, ce qui permet de trouver les racines si -\frac{\beta}{a} \geqslant 0. C’est d’ailleurs cette méthode qui permet de retrouver les formules du discriminant.
Erreurs fréquentes
Voici les erreurs les plus courantes lorsqu’on travaille avec la forme canonique :
Oublier le coefficient a devant la parenthèse. La forme canonique est a(x - \alpha)^2 + \beta, pas (x - \alpha)^2 + \beta. Si a \neq 1, il ne faut pas l’oublier. Par exemple, pour f(x) = 2x^2 - 8x + 6, la forme canonique est 2(x - 2)^2 - 2, pas (x - 2)^2 - 2.
Se tromper dans le signe de \alpha. La formule est a(x - \alpha)^2 + \beta avec un signe*moins devant \alpha. Ainsi, si \alpha = -3, on écrit a(x - (-3))^2 + \beta = a(x + 3)^2 + \beta. L’erreur classique est d’écrire a(x - 3)^2 + \beta.
Confondre \alpha et \beta. N’oubliez pas : \alpha est l’abscisse du sommet (position horizontale) et \beta est l’ordonnée du sommet (la valeur du minimum ou du maximum).
Ne pas vérifier le résultat. Pensez toujours à développer votre forme canonique pour vérifier que vous retombez sur la forme développée initiale. C’est un réflexe simple qui évite beaucoup d’erreurs.
Enoncé et démonstration en vidéo
Et pour ceux qui préfèrent, les vidéos, voici la version vidéo de la forme canonique :
Exercices corrigés
Si vous le préférez, ces exercices sont corrigés en vidéo à ce lien
Exercice 1
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme x^2 -3x+12
Corrigé
Pour cela, on fait le même type de calculs que lors de la démonstration :
\begin{array}{ll}
x^2 -3x+12 &= (x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12-\dfrac{9}{4}\\
&= \left(x -\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}\\
\end{array}Ce qui est la forme canonique recherchée
Exercice 2
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme 2x^2-8x-6 .
En déduire le minimum de ce trinôme
Corrigé
On calcule d’abord la forme canonique
\begin{array}{ll}
2x^2 -8x-6 &= 2 (x^2 - 4 x)-6\\
&= 2\left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2-2^2\right)-6\\
&=2 \left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2\right)-8-6\\
&=2 \left(x -2\right)^2-14\\
\end{array}Ce qui est la forme recherchée
Maintenant, comme 2> 0, on sait que le minimum est atteint en x=2 et f(2) = -14. Donc le minimum est -14 et est atteint en x= 2 .
Exercice 3
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme x^2-5x+6 .
En déduire ses racines
Corrigé
On utilise la même méthode que lors de la démonstration
\begin{array}{ll}
x^2 -5x+6 &= \left(x^2 - 2\dfrac{5}{2} x\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2-\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)-\dfrac{25}{4}+6\\
&= \left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\\
\end{array}Ce qui est la forme recherchée
Maintenant, on remarque que f est sous la forme A^2- B^2 avec A = x -\dfrac{5}{2} et B = \dfrac{1}{2}
Donc on peut écrire
\left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = \left(x - \dfrac{5}{2} -\dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{5}{2} +\dfrac{1}{2}\right) = (x-3)(x-2)Les deux racines de ce trinôme sont donc 2 et 3.
Exercice 4
Enoncé
On considère la fonction f définie par f(x) = -x^2 + 6x - 5. Déterminer la forme canonique de f(x). En déduire le maximum de f et les coordonnées du sommet de la parabole.
Corrigé
On utilise la méthode en 3 étapes. Ici a = -1, b = 6, c = -5.
Étape 1 : \alpha = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = 3.
Étape 2 : \beta = f(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4.
Étape 3 : f(x) = -(x - 3)^2 + 4.
Vérification : -(x - 3)^2 + 4 = -(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 9 + 4 = -x^2 + 6x - 5. C’est correct.
Comme a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas. La fonction f admet un maximum égal à 4, atteint en x = 3. Le sommet de la parabole est le point S(3, 4).
Exercices d’entrainement
Les exercices suivants sont à faire seul, sans regarder le corrigé. Si vous bloquez, relisez la section Méthode ci-dessus.
Exercice A. Déterminer la forme canonique de f(x) = x^2 + 8x + 3.
Exercice B. Déterminer la forme canonique de g(x) = -2x^2 + 4x + 1. En déduire le maximum de g.
Exercice C. Soit h(x) = 4x^2 - 12x + 9. Montrer que h(x) est un carré parfait. En déduire l’unique racine de h.
Exercice D. Une entreprise modélise son bénéfice par B(x) = -5x^2 + 200x - 1500, où x est le nombre d’unités produites. Déterminer le nombre d’unités à produire pour maximiser le bénéfice, et calculer ce bénéfice maximal.
FAQ
La forme canonique est une manière d’écrire un trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c sous la forme a(x − α)² + β, où α est l’abscisse du sommet de la parabole et β est la valeur du minimum (ou du maximum) de la fonction.
On calcule d’abord α = −b/(2a), puis β = f(α) en remplaçant x par α dans l’expression de f(x). La forme canonique est alors a(x − α)² + β. On peut aussi utiliser la technique de complétion du carré.
La forme canonique permet de trouver le sommet de la parabole (le point (α, β)), de déterminer le minimum ou le maximum de la fonction, d’étudier ses variations sans dériver, et de résoudre l’équation du second degré en retrouvant les formules du discriminant.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (α, β) où α = −b/(2a) et β = f(α). Si a > 0, le sommet est le point le plus bas de la parabole (minimum). Si a < 0, c’est le point le plus haut (maximum).
