Cette page a pour but de présenter la formule de la forme canonique à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés.
Cours
Définition
Un trinôme du second degré a 3 formes :
- La plus connue, la forme développée : f(x) = ax^2 + bx + c
- La forme factorise : a (x-x_1)(x-x_2) avec x_1,x_2 qui sont les racines
- Et la forme canonique, qui est l’objet de notre étude aujourd’hui, où on écrit le trinôme sous la forme a(x-\alpha)^2+\beta
Démonstration
Partons de la forme développée d’un trinôme pour montrer que tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique :
\begin{array}{ll}
f(x) & = ax^2+bx+c\\
&= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right)+c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c-a\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 +c-\dfrac{b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 +\dfrac{4ac-b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\
&= a(x-\alpha)^2 + \beta
\end{array}Avec \alpha = - \frac{b}{2a} et \beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}
Pour aller plus loin dans la résolution des trinômes du second degré à l’aide de la forme canonique, nous vous conseillons notre article sur l’équation du second degré
Utilisation
- Si a > 0 alors le minimum de la fonction est au point de coordonnées (\alpha,\beta)
- Si a < 0 alors le maximum de la fonction est au point de coordonnées (\alpha,\beta)
Enoncé et démonstration en vidéo
Et pour ceux qui préfèrent, les vidéos, voici la version vidéo de la forme canonique :
Exercices corrigés
Si vous le préférez, ces exercices sont corrigés en vidéo à ce lien
Exercice 1
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme x^2 -3x+12
Corrigé
Pour cela, on fait le même type de calculs que lors de la démonstration :
\begin{array}{ll}
x^2 -3x+12 &= (x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12-\dfrac{9}{4}\\
&= \left(x -\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}\\
\end{array}Ce qui est la forme canonique recherchée
Exercice 2
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme 2x^2-8x-6 .
En déduire le minimum de ce trinôme
Corrigé
On calcule d’abord la forme canonique
\begin{array}{ll}
2x^2 -8x-6 &= 2 (x^2 - 4 x)-6\\
&= 2\left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2-2^2\right)-6\\
&=2 \left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2\right)-8-6\\
&=2 \left(x -2\right)^2-14\\
\end{array}Ce qui est la forme recherchée
Maintenant, comme 2> 0, on sait que le minimum est atteint en x=2 et f(2) = -14. Donc le minimum est -14 et est atteint en x= 2 .
Exercice 3
Enoncé
Déterminer la forme canonique du polynôme x^2-5x+6 .
En déduire ses racines
Corrigé
On utilise la même méthode que lors de la démonstration
\begin{array}{ll}
x^2 -5x+6 &= \left(x^2 - 2\dfrac{5}{2} x\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2-\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)-\dfrac{25}{4}+6\\
&= \left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\\
\end{array}Ce qui est la forme recherchée
Maintenant, on remarque que f est sous la forme A^2- B^2 avec A = x -\dfrac{5}{2} et B = \dfrac{1}{2}
Donc on peut écrire
\left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = \left(x - \dfrac{5}{2} -\dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{5}{2} +\dfrac{1}{2}\right) = (x-3)(x-2)Les deux racines de ce trinôme sont donc 2 et 3.
