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Forme canonique
Cours Révisions du bac

La formule de la forme canonique : Cours et exercices corrigés

Cette page a pour but de présenter la formule de la forme canonique à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés.

Cours

Définition

Un trinôme du second degré a 3 formes :

  • La plus connue, la forme développée : f(x) = ax^2 + bx + c
  • La forme factorise : a (x-x_1)(x-x_2) avec x_1,x_2 qui sont les racines
  • Et la forme canonique, qui est l’objet de notre étude aujourd’hui, où on écrit le trinôme sous la forme a(x-\alpha^2)^2+\beta

Démonstration

Partons de la forme développée d’un trinôme pour montrer que tout trinôme du second degré peut s’écrire sous la forme canonique :

\begin{array}{ll}
f(x) & = ax^2+bx+c\\
&= a\left(x^2 +  \dfrac{b}{a}x\right)+c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c\\
&= a\left(x^2 + 2 \dfrac{b}{2a}x +\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right) +c-a\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\\
&= a\left(x+ 2 \dfrac{b}{2a}\right)^2 +c-\dfrac{b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ 2 \dfrac{b}{2a}\right)^2 +\dfrac{4ac-b^2}{4a}\\
&= a\left(x+ 2 \dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\
&= a(x-\alpha)^2 + \beta
\end{array}

Avec \alpha = - \frac{b}{2a} et \beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}

Pour aller plus loin dans la résolution des trinômes du second degré à l’aide de la forme canonique, nous vous conseillons notre article sur l’équation du second degré

Utilisation

  • Si a > 0 alors le minimum de la fonction est au point de coordonnées (\alpha,\beta)
  • Si a < 0 alors le maximum de la fonction est au point de coordonnées (\alpha,\beta)

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Déterminer la forme canonique du polynôme x^2 -3x+12

Corrigé

Pour cela, on fait le même type de calculs que lors de la démonstration :

\begin{array}{ll}
x^2 -3x+12 &= (x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12\\
&= \left(x^2 - 2 \dfrac{3}{2}x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)+12-\dfrac{9}{4}\\
&= \left(x -\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}\\
\end{array}

Ce qui est la forme canonique recherchée

Exercice 2

Enoncé

Déterminer la forme canonique du polynôme 2x^2-8x-6 .
En déduire le minimum de ce trinôme

Corrigé

On calcule d’abord la forme canonique

\begin{array}{ll}
2x^2 -8x-6 &= 2 (x^2 - 4 x)-6\\
&= 2\left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2-2^2\right)-6\\
&=2 \left(x^2 - 2 \times 2 x+2^2\right)-8-6\\
&=2 \left(x -2\right)^2-14\\
\end{array}

Ce qui est la forme recherchée

Maintenant, comme 2> 0, on sait que le minimum est atteint en x=2 et f(2) = -14. Donc le minimum est -14 et est atteint en x= 2 .

Exercice 3

Enoncé

Déterminer la forme canonique du polynôme x^2-5x+6 .
En déduire ses racines

Corrigé

On utilise la même méthode que lors de la démonstration

\begin{array}{ll}
x^2 -5x+6 &= \left(x^2 - 2\dfrac{5}{2} x\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2-\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)+6\\
&= \left(x^2 -2\dfrac{5}{2} x+\left(\dfrac{5}{2} \right)^2\right)-\dfrac{25}{4}+6\\
&= \left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\\
\end{array}

Ce qui est la forme recherchée

Maintenant, on remarque que f est sous la forme f(x) = A^2 {5}{2} et B = \dfrac{1}{2}

Donc on peut écrire

\left(x -\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = \left(x - \dfrac{5}{2} -\dfrac{1}{2}\right)\left(x - \dfrac{5}{2} +\dfrac{1}{2}\right) = (x-3)(x-2)

Les deux racines de ce trinôme sont donc 2 et 3.

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