Théorème des bornes atteintes : Cours, Démonstration et exercices corrigés

Qu’est-ce que le théorème des bornes atteintes ? Au programme : énoncé, démonstration et exercices d’application
Théorème des bornes atteintes

Dans cet article, nous allons énoncer, démontrer et proposer quelques exercices sur ce théorème.

Prérequis

Enoncé

Voici l’énoncé de ce théorème : Si f: [a;b] \to \R est une fonction continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.

Corollaire : En combinant ce théorème avec le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient que l’image d’une fonction continue par un segment est un segment.

Démonstration

Supposons que f n’est pas majorée. Alors \forall A > 0, \exists x \in [a,b], f(x) > A .

En prenant A= n , on obtient \exists x_n \in [a,b], f(x_n) > n

Donc \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) = + \infty

D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe \varphi : \N \to \N strictement croissante telle que x_{\varphi(n)} converge vers une limite l.

Donc, par continuité, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_{\varphi(n)} ) = f(l) \neq + \infty. On aboutit donc à une contradiction. Ainsi, f est majorée.

L’ensemble f([a,b]) étant majoré il admet une borne supérieure que l’on va noter M. On a donc :

\forall \varepsilon > 0 , \exists x \in [a,b], M- \varepsilon < f(x) \leq M 

Prenons \varepsilon = \dfrac{1}{n}. On a donc, \exists x_n \in [a,b], M - \dfrac{1}{n} < f(x_n) \leq M .

On obtient alors, d’après le théorème des gendarmes, que, \displaystyle \lim_{n \to + \infty}f(x_n) = M .

De plus, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on a l’existence de \varphi : \N \to \N strictement croissante telle que x_{\varphi(n)} converge vers une limite l.

Et comme f est continue, on a \displaystyle \lim_{n \to + \infty}f(x_n) = f(l) . D’où f(l) = M . f atteint donc sa borne supérieure l en M.

De manière similaire, on peut faire la même chose sur la borne inférieure.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Soient  f : \R \to \R bornée et  g : \R \to \R continue.
Montrer que g \circ f  et f \circ g  sont bornées.

Corrigé

Dans le premier cas, on a que f est bornée et donc \exists a,b \in \R, f(\R ) \subset [a;b] . Ainsi g(f(\R)) \subset g([a;b]) . Or, comme [a;b] est un segment, d’après le théorème des bornes atteintes, g appliqué à ce segment est borné. Donc g \circ f est bornée.

Dans le second cas, c’est encore plus simple. On a Im(f \circ g) \subset Im(f) . Donc si f est bornée, f \circ g l’est aussi.

Exercice 2

Enoncé

Soit f : [0, +\infty[ \to \R une fonction continue admettant une limite finie l  en  + \infty

Démontrer que f  est bornée.

Corrigé

Comme f admet une limite l en + \infty, on peut écrire que

\forall \varepsilon > 0, \exists A \in [0, + \infty[, \forall x \geq A, |f(x) - l | \leq \varepsilon

En prenant par exemple \varepsilon = 1, on obtient :

\exists A \in [0, + \infty[, \forall x \geq A, |f(x) - l | \leq 1

Dans ce cas, sur [A; + \infty[ f est bornée par [l-1; l+1]

De plus, d’après le théorème des bornes atteintes, f est bornée sur [0,a] par disons [m;M ].

Ainsi, en joignant ces deux morceaux f est bornée sur [0;+\infty] par [\min(m; l-1) ; \max(M, l+1)]

Exercice bonus :

Soit f : \R \to \R  une fonction continue de limite + \infty en + \infty et en - \infty

Montrer que f admet un minimum.

Exercice 3

Enoncé

Soient f,g [a,b] \to \R  continues telles que \forall x \in [a,b], f(x) < g(x)

Montrer qu’il existe \alpha > 0 tel que \forall x \in [a;b], f(x) \leq g(x) - \alpha

Corrigé

Considérons h = g-f . On a \forall x \in [a;b], h(x) > 0 . h est continue.

D’après le théorème des bornes atteintes, h est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc \alpha >0; x_0 \in [a,b] tel que le minimum de h soit \alpha = h(x_0) .

Ainsi \forall x \in [a,b], g(x) - f(x) \geq \alpha \iff f(x) \leq g(x) - \alpha

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