Dans cet article, nous allons énoncer, démontrer et proposer quelques exercices sur ce théorème.
Prérequis
- Fonctions continues
- Borne supérieure, borne inférieure
- Théorème de Bolzano-Weierstrass
- Théorème des gendarmes
Enoncé
Voici l’énoncé de ce théorème : Si f: [a;b] \to \R est une fonction continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.
Corollaire : En combinant ce théorème avec le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient que l’image d’une fonction continue par un segment est un segment.
Démonstration
Supposons que f n’est pas majorée. Alors \forall A > 0, \exists x \in [a,b], f(x) > A .
En prenant A= n , on obtient \exists x_n \in [a,b], f(x_n) > n
Donc \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) = + \infty
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe \varphi : \N \to \N strictement croissante telle que x_{\varphi(n)} converge vers une limite l.
Donc, par continuité, \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_{\varphi(n)} ) = f(l) \neq + \infty. On aboutit donc à une contradiction. Ainsi, f est majorée.
L’ensemble f([a,b]) étant majoré il admet une borne supérieure que l’on va noter M. On a donc :
\forall \varepsilon > 0 , \exists x \in [a,b], M- \varepsilon < f(x) \leq M
Prenons \varepsilon = \dfrac{1}{n}. On a donc, \exists x_n \in [a,b], M - \dfrac{1}{n} < f(x_n) \leq M .
On obtient alors, d’après le théorème des gendarmes, que, \displaystyle \lim_{n \to + \infty}f(x_n) = M .
De plus, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on a l’existence de \varphi : \N \to \N strictement croissante telle que x_{\varphi(n)} converge vers une limite l.
Et comme f est continue, on a \displaystyle \lim_{n \to + \infty}f(x_n) = f(l) . D’où f(l) = M . f atteint donc sa borne supérieure l en M.
De manière similaire, on peut faire la même chose sur la borne inférieure.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
Soient f : \R \to \R bornée et g : \R \to \R continue.
Montrer que g \circ f et f \circ g sont bornées.
Corrigé
Dans le premier cas, on a que f est bornée et donc \exists a,b \in \R, f(\R ) \subset [a;b] . Ainsi g(f(\R)) \subset g([a;b]) . Or, comme [a;b] est un segment, d’après le théorème des bornes atteintes, g appliqué à ce segment est borné. Donc g \circ f est bornée.
Dans le second cas, c’est encore plus simple. On a Im(f \circ g) \subset Im(f) . Donc si f est bornée, f \circ g l’est aussi.
Exercice 2
Enoncé
Soit f : [0, +\infty[ \to \R une fonction continue admettant une limite finie l en + \infty
Démontrer que f est bornée.
Corrigé
Comme f admet une limite l en + \infty, on peut écrire que
\forall \varepsilon > 0, \exists A \in [0, + \infty[, \forall x \geq A, |f(x) - l | \leq \varepsilon
En prenant par exemple \varepsilon = 1, on obtient :
\exists A \in [0, + \infty[, \forall x \geq A, |f(x) - l | \leq 1
Dans ce cas, sur [A; + \infty[ f est bornée par [l-1; l+1]
De plus, d’après le théorème des bornes atteintes, f est bornée sur [0,a] par disons [m;M ].
Ainsi, en joignant ces deux morceaux f est bornée sur [0;+\infty] par [\min(m; l-1) ; \max(M, l+1)]
Exercice bonus :
Soit f : \R \to \R une fonction continue de limite + \infty en + \infty et en - \infty
Montrer que f admet un minimum.
Exercice 3
Enoncé
Soient f,g [a,b] \to \R continues telles que \forall x \in [a,b], f(x) < g(x)
Montrer qu’il existe \alpha > 0 tel que \forall x \in [a;b], f(x) \leq g(x) - \alpha
Corrigé
Considérons h = g-f . On a \forall x \in [a;b], h(x) > 0 . h est continue.
D’après le théorème des bornes atteintes, h est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc \alpha >0; x_0 \in [a,b] tel que le minimum de h soit \alpha = h(x_0) .
Ainsi \forall x \in [a,b], g(x) - f(x) \geq \alpha \iff f(x) \leq g(x) - \alpha
