Cette page a pour but de présenter tout ce qu’il faut savoir sur l’équation de la tangente à l’aide d’un cours et d’exercices corrigés.
Prérequis
Cours
Rappel sur les tangentes
On appelle tangente à la courbe de f au point A la droite passant par A et de coefficient directeur f'(a)
Définition
Soit f une fonction dérivable en un point a. La tangente à la courbe au point A de coordonnées (a,f(a)) est donnée par la droite d’équation :
y = f(a) + (x-a)f'(a)
La tangente à la courbe en un point est unique.
Démonstration
On cherche une droite, donc de la forme y = mx + p d’inconnus m et p.
On sait sait que la pente m est égale à la valeur de la tangente. Donc on peut établir que m = f'(a).
Ensuite, on sait qu’au point x = a, on a y = f(a). On va donc remplacer ces 2 valeur pour déterminer p :
\begin{array}{ll} &f(a) = f'(a) a+ p\\ \iff & p = f(a) - a f'(a) \end{array}
On a alors la formule suivante :
\begin{array}{ll} &y = f'(a) x +f(a) - a f'(a) \\ \iff &y = f'(a) (x-a) + f(a) \end{array}
Ce qui est bien l’équation recherchée.
Exemple
Prenons la fonction carrée, donc définie par f(x) = x2. Déterminons l’équation de sa tangente au point a = 1.
- f est évidemment dérivable.
- D’abord, déterminons sa dérivée f’. f'(x) = 2x donc f'(1) = 2
- On peut ensuite avoir directement l’équation de la tangente : y = 2(x-1) + 1
- On va ensuite développer cette équation pour obtenir y = 2x – 1
Exercices
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Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
Soit f la fonction définie par
f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1
Déterminer l’équation de la tangente au point -1.
Corrigé
f est bien dérivable. Calculons f’. On a :
f'(x) = 4x^3 + 3x^2 +2x+1
Calculons f'(-1) :
\begin{array}{ll} f'(-1)& = 4(-1)^3 + 3(-1)^2+2(-1) +1\\ &= -4+3-2+1\\ & = -2 \end{array}
Calculons aussi f(-1) :
\begin{array}{ll} f(-1)& = (-1)^4 + (-1)^3+(-1)^2 +(-1)+1\\ &= 1-1+1-1+1\\ & = 1 \end{array}
On en déduit alors pour l’équation :
\begin{array}{ll} y& = -2(x-(-1))+1\\ &= -2(x+1)+1\\ & = -2x -1 \end{array}
Exercice 2
Enoncé
Soit f définie par
f(x) = x^2 -143 x +24342
Déterminer les points où la tangente est horizontale
Corrigé
La tangente de f est horizontale au point a si et seulement si f'(a) = 0.
On va donc calculer f’. f est bien dérivable. On a :
f'(x) =2x - 143
Ce qui fait qu’on a
\begin{array}{ll} &f'(x) = 0\\ \iff & 2x - 143 = 0 \\ \iff & 2x = 143\\ \iff & x = \dfrac{143}{2} \end{array}
Ce qui est la réponse recherchée.
Exercices
Exercice 1
On note P la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l’équation de la tangente à P parallèle à la droite d’équation y=6x−3.
Exercice 2
On considère la courbe Cf représentant la fonction f définie sur R par
f(x) = \dfrac{5x}{x^2+1}
1) Montrer que pour tout réel a, les tangentes aux points d’abscisses respectives a et −a sont parallèles.
2) Cf admet-elle des tangentes horizontales ?
Exercice 3
Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner une équation de la tangente au point défini
\begin{array}{lll} 1. & f(x) = x^3 -5x^2 +3x+1 & a = 0\\ 2. & f(x) = \dfrac{x^2}{3x-12} & a = 1\\ 3. & f(x) = \dfrac{x-2}{x+2} & a = 4\\ 4. & f(x) =x^3 -5x^2 +3x+1+ \dfrac{x^2}{3x-12} & a = 2\\ \end{array}
Exercice 4
Soit f la fonction définie par f(x) = x3 – x représentée par la courbe C et d la droite d’équation définie par y = 11x – 16.
- Démontrer que la droite d est la tangente en un point de C qu’on déterminera
- Existe-t-il une autre tangente à C parallèle à d ?
Exercice 5
Sachant que f’(2) = – 4 et que f(2) = 1, déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2.
Exercice 6
Soit la fonction f définie par
f(x) = \sqrt{4x+6}
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse
x = 2.