Equation de la tangente : Cours et exercices corrigés

Cette page a pour but de présenter tout ce qu’il faut savoir sur l’équation de la tangente à l’aide d’un cours et d’exercices corrigés.

Prérequis

La dérivation

Cours

Rappel sur les tangentes

On appelle tangente à la courbe de f au point A la droite passant par A et de coefficient directeur f'(a)

Définition

Soit f une fonction dérivable en un point a. La tangente à la courbe au point A de coordonnées (a,f(a)) est donnée par la droite d’équation :

y = f(a) + (x-a)f'(a) 

La tangente à la courbe en un point est unique.

Démonstration

On cherche une droite, donc de la forme y = mx + p d’inconnus m et p.
On sait sait que la pente m est égale à la valeur de la tangente. Donc on peut établir que m = f'(a).
Ensuite, on sait qu’au point x = a, on a y = f(a). On va donc remplacer ces 2 valeur pour déterminer p :

\begin{array}{ll}
&f(a) =  f'(a) a+ p\\
\iff & p = f(a) - a f'(a) 
\end{array}

On a alors la formule suivante :

\begin{array}{ll}
&y = f'(a) x +f(a) - a f'(a) \\
\iff &y = f'(a) (x-a) + f(a) 
\end{array}

Ce qui est bien l’équation recherchée.

Exemple

Prenons la fonction carrée, donc définie par f(x) = x². Déterminons l’équation de sa tangente au point a = 1.

• f est évidemment dérivable.
• D’abord, déterminons sa dérivée f’. f'(x) = 2x donc f'(1) = 2
• On peut ensuite avoir directement l’équation de la tangente : y = 2(x-1) + 1
• On va ensuite développer cette équation pour obtenir y = 2x – 1

Exercices

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Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Soit f la fonction définie par

f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1

Déterminer l’équation de la tangente au point -1.

Corrigé

f est bien dérivable. Calculons f’. On a :

f'(x) = 4x^3 + 3x^2 +2x+1

Calculons f'(-1) :

\begin{array}{ll}
f'(-1)& = 4(-1)^3 + 3(-1)^2+2(-1) +1\\
&= -4+3-2+1\\
& = -2
\end{array}

Calculons aussi f(-1) :

\begin{array}{ll}
f(-1)& = (-1)^4 + (-1)^3+(-1)^2 +(-1)+1\\
&= 1-1+1-1+1\\
& = 1
\end{array}

On en déduit alors pour l’équation :

\begin{array}{ll}
y& = -2(x-(-1))+1\\
&= -2(x+1)+1\\
& = -2x -1
\end{array}

Exercice 2

Enoncé

Soit f définie par

f(x) = x^2 -143 x +24342

Déterminer les points où la tangente est horizontale

Corrigé

La tangente de f est horizontale au point a si et seulement si f'(a) = 0.

On va donc calculer f’. f est bien dérivable. On a :

f'(x)  =2x - 143 

Ce qui fait qu’on a

\begin{array}{ll}
&f'(x) = 0\\
\iff & 2x - 143 = 0 \\
\iff & 2x = 143\\
 \iff & x = \dfrac{143}{2} 
\end{array}

Ce qui est la réponse recherchée.

Exercices

Exercice 1

On note P la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l’équation de la tangente à P parallèle à la droite d’équation y=6x−3.

Exercice 2

On considère la courbe C_f représentant la fonction f définie sur R par

f(x) = \dfrac{5x}{x^2+1}

1) Montrer que pour tout réel a, les tangentes aux points d’abscisses respectives a et −a sont parallèles.
2) C_f admet-elle des tangentes horizontales ?

Exercice 3

Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner une équation de la tangente au point défini

\begin{array}{lll}
1. & f(x) = x^3 -5x^2 +3x+1 & a = 0\\
2. & f(x) = \dfrac{x^2}{3x-12} & a = 1\\
3. & f(x) = \dfrac{x-2}{x+2} & a = 4\\
4. & f(x) =x^3 -5x^2 +3x+1+ \dfrac{x^2}{3x-12} & a = 2\\
\end{array}

Exercice 4

Soit f la fonction définie par f(x) = x³ – x représentée par la courbe C et d la droite d’équation définie par y = 11x – 16.

1. Démontrer que la droite d est la tangente en un point de C qu’on déterminera
2. Existe-t-il une autre tangente à C parallèle à d ?

Exercice 5

Sachant que f’(2) = – 4 et que f(2) = 1, déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2.

Exercice 6

Soit la fonction f définie par

f(x) = \sqrt{4x+6}

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse
x = 2.