La loi faible des grands nombres : Enoncé et démonstration

Cet article a pour but de présenter la loi faible des grands nombres, une des propriétés de base en probabilité.

Prérequis

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un prérequis pour cette inégalité

Enoncé de la loi faible des grands nombres

On définit la convergence en probabilités comme suit : Soit (X_n)_{n \in \N} suite de variables aléatoires. On dit que (X_n) converge en probabilités vers X si

\forall \varepsilon >0, \lim_{n\to + \infty} \mathbb{P}(|X-X_n|\geq \varepsilon)= 0

Soit une suite X_1, X_2, \ldots,X_n de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d’espérance finie notée m. On définit

S_n = \dfrac{X_1+\ldots +X_n}{n}

Alors S_n converge en probabilités vers m.

Démonstration

Nous allons faire la démonstration dans le cas où la variance \sigma^2 est finie.

Tout d’abord, regardons l’espérance de S_n. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(S_n )&= \mathbb{E} \left( \dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n} \right)\\
&= \frac{1}{n}\left(\mathbb{E} (X_1)+\ldots+\mathbb{E} (X_n) \right)\\
&= \frac{1}{n}\left(m+\ldots+m \right)\\
&= \frac{mn}{n} \\
&= m
\end{array}

Regardons maintenant la variance :

\begin{array}{ll}
V(S_n )&= V \left( \dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n} \right)\\
& =  \dfrac{1}{n^2}V \left( X_1+\ldots+X_n \right)\\
& =  \dfrac{1}{n^2}\left(V ( X_1)+\ldots+V(X_n )\right)\\
& =  \dfrac{\sigma^2n}{n^2}\\
& =  \dfrac{\sigma^2}{n}
\end{array}

Soit \varepsilon > 0 . On a, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\mathbb{P}\left(|S_n - \mathbb{E}(S_n)| \geq \varepsilon \right) \leq \dfrac{V(S_n)}{\varepsilon^2}

Ce qui se réécrtit :

\mathbb{P}\left(|S_n -m| \geq \varepsilon \right) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}

Et donc \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \mathbb{P}\left(|S_n -m| \geq \varepsilon \right) ce qui est bien le résultat recherché.

Exemple d’application 

On lance n fois une pièce équilibrée. Si on fait beaucoup de lancers (autour de 1000 par exemple), alors on aura environ 50 % de piles.