Dans cet article, nous allons vous présenter les notions de maximum et de minimum. Cette présentation devrait être assez rapide et fait suite aux notions de majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure
Prérequis
Cours
Soit A un ensemble.
- M est un maximum (noté \max) de A si, M \in A \wedge \forall x \in A, x \leq M
- m est un minimum (noté \min) de A si, m \in A \wedge \forall x \in A, x \geq m
Pour le maximum, on parle aussi de plus grand élément et pour le minimum de plus petit élément.
Lien avec borne supérieure et borne inférieure
Si le maximum (resp. minimum) existe alors il est égal à la borne supérieure (resp. inférieure). En effet, la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure réside dans le fait que la valeur de la borne appartienne ou non à l’ensemble :
- Si elle appartient, alors c’est un maximum (ou minimum) ET une borne supérieure (ou inférieure).
- Si elle n’appartient pas, alors c’est seulement une borne supérieure (ou inférieure)
Exemples
Prenons l’exemple d’un intervalle.
- Pour un intervalle I= ]a;b [ , on a \sup I = b, \inf I = a mais pas de minimum ou de maximum.
- Pour un intervalle I= [a;b ], on a \sup I =\max I = b, \inf I = \min I = a mais pas de minimum ou de maximum.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : La suite u définie par u_n = \dfrac{1}{n} admet-elle un maximum et un minimum ?
Corrigé : On sait que cette suite est décroissante, que u_0 = 1 et que \displaystyle \lim_{n \to + \infty}u_n = 0 .
On en déduit donc que 1 est le maximum et qu’il est atteint. 0 est une borne inférieure, mais l’équation u_n = 0 n’a pas de solution. Ce n’est donc pas un minimum. Cette suite n’admet donc pas de minimum
Exercice 627 (formule à retenir)
Enoncé :
Corrigé : On remarque que nécessairement : \max(a,b) + \min(a,b) = a+b et la différence est nécessairement positive, mais on ne sait pas lequel des deux est le plus grand. On a donc \max(a,b) - \min(a,b) = |a-b | . On se retrouve donc avec un système qu’on va résoudre :
\begin{array}{ll}
& \left\{ \begin{array}{lll}\max(a,b) + \min(a,b) &= &a+b\\ \max(a,b) - \min(a,b)& = &|a-b |\end{array}\right. \\
\iff & \left\{ \begin{array}{lll}\max(a,b) + \min(a,b) &= &a+b\\2\max(a,b) & = &a+b+|a-b |\end{array}\right. \\
\iff & \left\{ \begin{array}{lll}\max(a,b) + \min(a,b) &= &a+b\\\max(a,b) & = &\dfrac{a+b+|a-b |}{2}\end{array}\right. \\
\iff & \left\{ \begin{array}{lll} \min(a,b) &= &\dfrac{a+b-|a-b|}{2}\\\max(a,b) & = &\dfrac{a+b+|a-b |}{2}\end{array}\right. \\
\end{array}Ce qui est donc le résultat recherché.
