Tout comme injection, surjection et bijection, familles libres, familles génératrices et bases sont trois concepts qu’on présente généralement ensemble.
Prérequis
Cours
Dans toute la suite, on considérera E un \mathbb{K}-espace vectoriel et \mathcal{F} = (v_1,\ldots,v_n) une famille de vecteurs
Famille libre
Une famille de vecteurs sur un espace vectoriel est dite libre si et seulement si
\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{K}, \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_n v_n = 0\Rightarrow \lambda_1= \ldots = \lambda_n=0On dit que les vecteurs (v_1,\ldots, v_n) sont linéairement indépendants.
Dans le cas d’une famille infinie, une famille est libre si toute sous-famille finie l’est
Une famille qui n’est pas libre est dite liée. Dans ce cas, les vecteurs sont linéairement dépendants.
Lemme : Si on enlève un élément à une famille libre, elle reste libre
Lemme : Si on ajoute un élément à une famille libre qui n’est pas combinaison linéaire des autres éléments, elle reste libre
En pratique, pour montrer qu’une famille à 2 éléments est libre, il suffit de montrer qu’ils ne sont pas colinéaires.
Famille génératrice
Une famille de vecteurs sur un espace vectoriel E est dite génératrice lorsque tout vecteur est une combinaison linéaire d’éléments de cette famille :
\forall x \in E, \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}, x = \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_nv_nDans le cas d’une famille infinie, une famille est génératrice si tout vecteur peut être écrit combinaison finie de ces éléments.
Lemme : Si on ajoute un élément à une famille génératrice, elle reste génératrice
Base
Une famille qui est la fois libre et génératrice est appelée base.
On obtient en corollaire la proposition suivante :
\forall x \in E, \exists !\lambda_1, \ldots, \lambda_n\in \mathbb{K}, x = \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_nv_nLemme : Soit une famille génératrice. Il existe une sous-famille qui est une base.
De plus, certaines bases sont dites canoniques, on en a fait tout un article :
