Familles libres, génératrices et bases

Familles libres, familles génératrices et bases, voici 3 concepts très utiles lorsqu’on commence à travailler avec des espaces vectoriels en dimension finie
Familles libres et génératrices

Tout comme injection, surjection et bijection, familles libres, familles génératrices et bases sont trois concepts qu’on présente généralement ensemble.

Prérequis

Cours

Dans toute la suite, on considérera E un \mathbb{K}-espace vectoriel et \mathcal{F} = (v_1,\ldots,v_n) une famille de vecteurs

Famille libre

Une famille de vecteurs sur un espace vectoriel est dite libre si et seulement si

\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{K}, \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_n v_n = 0\Rightarrow \lambda_1= \ldots = \lambda_n=0

On dit que les vecteurs (v_1,\ldots, v_n) sont linéairement indépendants.

Dans le cas d’une famille infinie, une famille est libre si toute sous-famille finie l’est

Une famille qui n’est pas libre est dite liée. Dans ce cas, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Lemme : Si on enlève un élément à une famille libre, elle reste libre

Lemme : Si on ajoute un élément à une famille libre qui n’est pas combinaison linéaire des autres éléments, elle reste libre

En pratique, pour montrer qu’une famille à 2 éléments est libre, il suffit de montrer qu’ils ne sont pas colinéaires.

Famille génératrice

Une famille de vecteurs sur un espace vectoriel E est dite génératrice lorsque tout vecteur est une combinaison linéaire d’éléments de cette famille :

\forall x \in E, \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}, x = \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_nv_n

Dans le cas d’une famille infinie, une famille est génératrice si tout vecteur peut être écrit combinaison finie de ces éléments.

Lemme : Si on ajoute un élément à une famille génératrice, elle reste génératrice

Base

Une famille qui est la fois libre et génératrice est appelée base.

On obtient en corollaire la proposition suivante :

\forall x \in E, \exists !\lambda_1, \ldots, \lambda_n\in \mathbb{K}, x = \lambda_1v_1+ \ldots+\lambda_nv_n

Lemme : Soit une famille génératrice. Il existe une sous-famille qui est une base.

De plus, certaines bases sont dites canoniques, on en a fait tout un article :

Total
0
Partages
1 commentaire

Laisser un commentaire

Articles similaires