La loi de Fisher n’est pas celle qu’on étudie le plus mais elle s’avère très utile en statistiques ! Le test de Fisher est un des tests les plus connus.
Prérequis
Définition
Soit d_1,d_2 2 entiers. Considérons U_1, U_2 deux variables aléatoires suivants la loi du \chi^2 à respectivement d_1 et d_2 degrés de liberté. La loi de fisher, notée F(d_1,d_2) est alors définie par
F \sim \dfrac{U_1/d_1}{U_2/d_2}On peut écrire sa densité sous la forme
f(x) = \dfrac{\left(\frac{d_1 x}{d_1 x +d_2} \right)^{\frac{d_1}{2}}+\left(1-\frac{d_1 x}{d_1 x +d_2} \right)^{\frac{d_2}{2}}}{x B \left( \frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2} \right)}Où B est la fonction bêta.
Propriétés
Espérance de la loi de Fisher
Son espérance est définie si et seulement si d_2 > 2 et vaut
\mathbb{E}(X) = \dfrac{d_2}{d_2-2}Variance de la loi de Fisher
La loi de Fisher a pour variance
V(X) = \dfrac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)} Elle est définie si et seulement si d_2 > 4
Quelques propriétés
Voici quelques propriétés concernant la loi de Fisher :
- Si X \sim F(d_1,d_2) alors \dfrac{1}{X} \sim F(d_2,d_1)
- Si X \sim t(d) (loi de Student) alors X^2 \sim F(1,d)
- On a un peu la même chose avec une loi normale : Si X \sim \mathcal{N}(0,1) (loi normale) alors X^2 \sim F(1,\infty)
