Loi de Fisher : Cours et propriétés

Tout savoir sur la loi de Fisher : Définition et propriétés
Loi de Fisher

La loi de Fisher n’est pas celle qu’on étudie le plus mais elle s’avère très utile en statistiques ! Le test de Fisher est un des tests les plus connus.

Prérequis

Définition

Soit d_1,d_2 2 entiers. Considérons U_1, U_2 deux variables aléatoires suivants la loi du \chi^2 à respectivement d_1 et d_2 degrés de liberté. La loi de fisher, notée F(d_1,d_2) est alors définie par

F \sim \dfrac{U_1/d_1}{U_2/d_2}

On peut écrire sa densité sous la forme

 f(x) = \dfrac{\left(\frac{d_1 x}{d_1 x +d_2} \right)^{\frac{d_1}{2}}+\left(1-\frac{d_1 x}{d_1 x +d_2} \right)^{\frac{d_2}{2}}}{x B \left( \frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2} \right)}

Où B est la fonction bêta.

Propriétés

Espérance de la loi de Fisher

Son espérance est définie si et seulement si d_2 > 2 et vaut

\mathbb{E}(X) = \dfrac{d_2}{d_2-2}

Variance de la loi de Fisher

La loi de Fisher a pour variance

V(X) = \dfrac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)} 

Elle est définie si et seulement si d_2 > 4

Quelques propriétés

Voici quelques propriétés concernant la loi de Fisher :

  • Si X \sim F(d_1,d_2) alors \dfrac{1}{X} \sim F(d_2,d_1)
  • Si X \sim t(d) (loi de Student) alors X^2 \sim F(1,d)
  • On a un peu la même chose avec une loi normale : Si X \sim \mathcal{N}(0,1) (loi normale) alors X^2 \sim F(1,\infty)
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