Le pivot de Gauss : Méthode, cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons explorer ce qu’est le pivot de Gauss, une technique fondamentale en algèbre linéaire utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.

Prérequis

• Matrices

• Opérations élémentaires sur les lignes

Définition

Le pivot de Gauss (aussi appelé élimination de Gauss ou méthode du pivot) est un algorithme qui permet de résoudre un système d’équations linéaires en le transformant progressivement en un système équivalent plus simple, dit échelonné. L’idée est d’éliminer les inconnues une par une en combinant les équations entre elles, jusqu’à obtenir un système triangulaire que l’on résout par remontée.

Concrètement, on travaille sur la matrice augmentée (A \mid B) du système AX = B, et on lui applique des opérations élémentaires sur les lignes jusqu’à ce qu’elle soit sous forme échelonnée.

Cette méthode porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855), bien que des techniques similaires aient été utilisées en Chine dès le IIe siècle avant J.-C.

Les trois opérations élémentaires

Le pivot de Gauss repose sur trois opérations élémentaires sur les lignes, qui ne modifient pas l’ensemble des solutions du système :

1. Échange de deux lignes : L_i \leftrightarrow L_j. On permute deux lignes entre elles. On l’utilise pour placer un pivot non nul en bonne position.
2. Multiplication d’une ligne par un scalaire non nul : L_i \leftarrow \lambda L_i avec \lambda \neq 0. On multiplie tous les coefficients d’une ligne par un même nombre non nul. On l’utilise pour simplifier les coefficients.
3. Ajout d’un multiple d’une ligne à une autre : L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j. C’est l’opération la plus utilisée : elle permet de faire apparaître des zéros sous le pivot.

Ces opérations sont appelées élémentaires car elles sont réversibles : on peut toujours revenir au système initial. C’est ce qui garantit que le système transformé a exactement les mêmes solutions que le système de départ.

Méthode du pivot de Gauss

Voici la méthode du pivot de Gauss, étape par étape :

• Étape 1 : Écrire la matrice augmentée. On écrit le système sous la forme d’une matrice augmentée (A \mid B) qui rassemble les coefficients et les seconds membres.
• Étape 2 : Choisir le pivot. On cherche un élément non nul dans la première colonne. C’est le pivot. Si le premier coefficient de la première ligne est nul, on échange cette ligne avec une ligne dont le coefficient est non nul.
• Étape 3 : Éliminer sous le pivot. On utilise l’opération L_i \leftarrow L_i - \frac{a_{i1}}{a_{11}} L_1 pour faire apparaître des zéros dans toute la première colonne, sous le pivot.
• Étape 4 : Répéter. On recommence les étapes 2 et 3 sur la sous-matrice restante (en ignorant la première ligne et la première colonne), puis sur la suivante, et ainsi de suite.
• Étape 5 : Résoudre par remontée. Une fois la matrice sous forme échelonnée (triangulaire supérieure), on résout le système de bas en haut : on calcule d’abord la dernière inconnue, puis on remonte pour trouver les autres.

Propriété fondamentale

La méthode du pivot de Gauss ne modifie pas la solution du système d’équations.

Autrement dit, le système échelonné obtenu à la fin est équivalent au système de départ : il a exactement les mêmes solutions. Cela vient du fait que chacune des trois opérations élémentaires] est réversible.

Les différents cas possibles

Lorsqu’on applique le pivot de Gauss, on tombe sur l’un de ces trois cas :

• Cas 1 : Système compatible déterminé (solution unique). On obtient autant de pivots que d’inconnues. Le système admet une unique solution, que l’on trouve par remontée. C’est le cas le plus courant dans les exercices.
• Cas 2 : Système compatible indéterminé (infinité de solutions). On obtient moins de pivots que d’inconnues. Certaines inconnues deviennent des paramètres libres, et les solutions forment un ensemble paramétré. Par exemple, si on a 3 inconnues et 2 pivots, les solutions dépendent d’un paramètre t \in \mathbb{R}.
• Cas 3 : Système incompatible (aucune solution). On obtient une ligne du type 0 = c avec c \neq 0, ce qui est absurde. Le système n’a pas de solution.

Savoir identifier ces trois cas est essentiel en algèbre linéaire. On retrouve cette distinction dans l’étude de l’inversibilité des matrices : une matrice carrée est inversible si et seulement si le système associé admet une unique solution.

Exercice corrigé : Résolution d’un système 3×3

Résolvons le système suivant :

\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z &=& 9 \\ 2x + 3y + z &=& 8 \\ x + y + 2z &= &10  \end{array}\right.

Etape 1 : Ecriture de la matrice augmentée

On écrit la matrice augmentée du système :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 2 & 3 & 1 & 8 \\ 1 & 1 & 2 & 10 \end{array} \right)

Etape 2 : Choix du pivot

Le premier coefficient de la première ligne est 1 : c’est notre pivot. Pas besoin d’échanger de lignes.

Etape 3 : Elimination sous le pivot

On effectue les opérations L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L_3 \leftarrow L_3 - L_1 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & -10 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)

Etape 4 : Répétition sur la sous-matrice

Le nouveau pivot est -1 (deuxième ligne, deuxième colonne). On effectue L_3 \leftarrow L_3 - L_2 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & -10 \\ 0 & 0 & 2 & 11 \end{array} \right)

La matrice est maintenant sous forme échelonnée.

Etape 5 : Résolution par remontée

On résout de bas en haut :

 \begin{array}{ll} L_3 : & 2z = 11 \quad \Longrightarrow \quad z = \dfrac{11}{2} \\[10pt] L_2 : & -y - z = -10 \quad \Longrightarrow \quad y = 10 - z = 10 - \dfrac{11}{2} = \dfrac{9}{2} \\[10pt] L_1 : & x + 2y + z = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 9 - 2 \times \dfrac{9}{2} - \dfrac{11}{2} = 9 - 9 - \dfrac{11}{2} = -\dfrac{11}{2} \end{array}

L’unique solution du système est :

\boxed{\left( x, y, z \right) = \left( -\dfrac{11}{2},\; \dfrac{9}{2},\; \dfrac{11}{2} \right)}

Exercice corrigé 2 : Système avec une infinité de solutions

Résolvons le système :

 \left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z &=& 2 \\ 2x + y + z &=& 5 \\ 3x + 2y &=& 7 \end{array} \right.

On écrit la matrice augmentée et on applique L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \end{array} \right)

Puis L_3 \leftarrow L_3 - L_2 :

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

La troisième ligne donne 0 = 0 : elle n’apporte aucune information. On n’a que 2 pivots pour 3 inconnues, donc z est un paramètre libre. En posant z = t avec t \in \mathbb{R} :

\begin{array}{l} L_2 : \; -y + 3t = 1 \quad \Longrightarrow \quad y = 3t - 1 \\ L_1 : \; x + y - z = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 2 - y + z = 2 - (3t - 1) + t = 3 - 2t \end{array}

L’ensemble des solutions est :

 \boxed{\mathcal{S} = \left\{ \left( 3 - 2t,\; 3t - 1,\; t \right) \mid t \in \mathbb{R} \right\}}

Par exemple, pour t = 0 on obtient (3, -1, 0), et pour t = 1 on obtient (1, 2, 1).

Exercice corrigé 3 : Système incompatible

Montrons que le système suivant n’a pas de solution :

\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &=& 1 \\ 2x + 2y + 2z &=& 5 \\ x + 3y - z &=& 0 \end{array} \right.

On applique L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \end{array} \right)

La deuxième ligne donne 0 = 3, ce qui est absurde. On en déduit que :

\boxed{\text{Le système est incompatible : } \mathcal{S} = \varnothing}

On pouvait d’ailleurs le pressentir : la deuxième équation est le double de la première côté gauche (2x + 2y + 2z), mais pas côté droit (5 \neq 2 \times 1).

Exercice corrigé 4 : Problème concret

Un magasin vend trois types de fruits : pommes, bananes et cerises. Trois clients achètent les fruits suivants :

• Le premier client achète 2 pommes, 3 bananes et 1 cerise pour 10€.
• Le deuxième client achète 1 pomme, 1 banane et 2 cerises pour 7€.
• Le troisième client achète 3 pommes, 2 bananes et 1 cerise pour 11€.

On note p, b et c les prix respectifs d’une pomme, d’une banane et d’une cerise qu’on cherche donc à connaitre. Le système à résoudre est :

\left\{ \begin{array}{rcl} 2p + 3b + c &=& 10 \\ p + b + 2c &=& 7 \\ 3p + 2b+ c &=& 11 \end{array} \right.

On commence par échanger L_1 et L_2 pour avoir un pivot égal à 1 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 7 \\ 2 & 3 & 1 & 10 \\ 3 & 2 & 1 & 11 \end{array} \right)

On effectue L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 :

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & -3 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & -10 \end{array} \right)

Puis L_3 \leftarrow L_3 + L_2 :

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 7 \\ 0 & 1 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -8 & -14 \end{array} \right)

On résout par remontée :

\begin{array}{l} L_3 : \; -8c = -14 \quad \Longrightarrow \quad c = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\text{€} \\[12pt] L_2 : \; b = -4 + 3 \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\text{€} \\[12pt] L_1 : \; p = 7 - \dfrac{5}{4} - \dfrac{14}{4} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25\text{€} \end{array}

\boxed{p = 2{,}25\text{€}, \quad b = 1{,}25\text{€}, \quad c = 1{,}75\text{€}}

Vérification : 2(2{,}25) + 3(1{,}25) + 1{,}75 = 4{,}50 + 3{,}75 + 1{,}75 = 10

Exercices

Exercice 1

Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :

\left\{\begin{array}{rcl}
 x + y + z &= &6 \\ 2x + y + 2z &= &10 \\ 
x + 2y + 3z &= &14 
\end{array}\right.

Exercice 2

Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour déterminer si le système d’équations suivant a une solution, une infinité de solutions ou aucune solution :

\left\{\begin{array}{rcl}
2x - y + z &=& 5 \\ x + y - z &=& 2 \\ 3x + 2y + 2z &=& 12
\end{array}\right.

Exercice 3

Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :

\left\{\begin{array}{rcl}
x + 2y - z &= 4 \\ 2x - y + 3z &= 3 \\ x - y + 2z &= 1
\end{array}\right.

Exercice 4

Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :

\left\{\begin{array}{rcl}
x - 2y + 3z &=& 1 \\ 3x + y - z &=& 5 \\ 2x + 2y + z &=& 10 \end{array}\right.

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